Решение неравенств с помощью производной. Использование производной для решения уравнений, доказательства и решения неравенств. Материал для факультативных занятий. Разложение выражения на множители с помощью производной

1.3. Применение производной при решении уравнений

Покажем, как с помощью производной можно решать вопросы существова-ния корней уравнения, а в некоторых случаях и их отыскания. По-прежнему основную роль здесь будут играть исследования функции на монотонность, нахождение ее экстремальных значений. Кроме того, будет использован ряд свойств монотонных и непрерывных функций.

Свойство 1. Если функция f возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке равнение f(x)=0 имеет не более одного корня.

Это утверждение вытекает непосредственно из определения возрастающей и убывающей функций. Корень уравнения f(x)=0 равен абсциссе точки пересечения графика функции y=f(x) с осью x.

Свойство 2. Если функция f определена и непрерывна на промежутке и на его концах принимает значения разных знаков, то между a и b найдется точка c, в которой f(c)=0.

Задача 1.12. Решить уравнение

Заметим, что является корнем уравнения. Докажем, что других корней это уравнение не имеет. Исследуем функцию f, где , на монотонность. Производная . Установим промежутки, на которых функция сохраняет знак. Для этого исследуем ее на монотонность. Производная . Так как при , то при . Следовательно, функция возрастает при положительных значениях x; . Поэтому при . В силу четности функции она принимает положительные значения при всех . Следовательно, f возрастает на всей числовой оси. Согласно свойству 1, уравнение имеет не более одного корня. Итак, – единственный корень уравнения.

Задача 1.13. Решить систему уравнений

Система эквивалентна следующей:

Из первого уравнения следует, что , из второго – . Выразим з первого уравнения x через y: , . Тогда . положив , получим или . Производная функции f, где , равна . она отрицательна при всех значениях t. Таким образом, функция f убывает. Поэтому уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что является его корнем. Итак, единственное решение системы.

Задача 1.14. Доказать, что уравнение имеет единственный корень, лежащий в интервале .

Уравнение равносильными преобразованиями приводится к виду , где . Функция f возрастающая, так как при всех . Согласно свойству 1, уравнение имеет не более одного решения. Функция f непрерывна, кроме того, , . В силу свойства 2 уравнение на интервале имеет корень.

В задаче 3 требовалось доказать, что корень уравнения принадлежит некоторому промежутку. Мы пользовались свойством 2 непрерывной на отрезке функции, принимающей на концах этого отрезка значения разных знаков. Этот путь не всегда приводит к цели при решении подобных задач. Иногда целесооб-разно воспользоваться следующим свойством дифференцируемых функций.

Свойство 3 (Теорема Ролля). Если функция f непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (a,b) и f(a)=f(b), то существует точка такая, что .

На геометрическом языке свойство 3 означает следующее: если , то на графике кривой найдется точка С с координатами , где касательная к графику параллельна оси x.

Задача 1.15. Доказать, что уравнение при , имеет не более одного действительного корня.

Предположим, что уравнение имеет, по крайней мере, два корня и . Функция f, где дифференцируема на всей числовой прямой. Так как , то согласно свойству 3, ее производная на интервале имеет корень. Однако при уравнение решений не имеет. Полученное противоречие показывает, что уравнение не может иметь более одного корня.

Задача 1.16. Доказать, что многочлен , ,

Имеет не более n корней.

Согласно свойству 3, между двумя корнями многочлена лежит, по крайнем мере, один корень его производной. Поэтому, если многочлен f(x) имеет , различных корней, то его производная должна иметь не менее (k-1) корней. Точно так же – не менее k-2 корней и т.д., n-ая производная – не менее (k-n) корней, . Это невозможно, так как является отличной от нуля постоянной.

Задача 1.17. Доказать, что многочлен имеет корень между 0 и 1 ().

Применение свойства 2 к цели не приводит, так как . Рассмотрим функцию g, где . Для нее функция f является производной. Так как , то согласно свойству 3, при некотором .

Задача 1.18. Доказать, что уравнение не имеет действительных корней.

Пусть , тогда . Если x – корень уравнения, то , т.е. функция f, в силу ее непрерывности, убывает в окрестности каждого корня. Заметим, что если уравнение имеет корни, то они отрицательные. Известно, что многочлен n-й степени имеет не более n корней. Обозначим через - наибольший из корней. Тогда существует такое , что . Так как , то на интервале должен находиться корень x многочлена f(x). получили противоречие.

Рассмотрим уравнение вида , где f, g – взаимно обратные, возрастающие функции, имеющие одинаковые области определения. Покажем, что это уравнение равносильно уравнению . (3)

В самом деле, пусть а является корнем уравнения (3), т.е. . Учитывая, что область определения функции g совпадает со множеством значений функции f им наоборот, можно записать: , или , т.е. , а является корнем уравнения .

Обратно, пусть , но . Тогда или . первом случае . Точно так же получается противоречие и во втором случае.

Таким образом, получен один частный прием равносильного преобразования уравнений.

Задача 1.19. Решить уравнение .

Перепишем данное уравнение в виде . Функция непрерывна, возрастающая (как сумма двух возрастающих функций и ), поэтому она имеет обратную. Найдем ее: , . Итак, обратной для f является функция , совпадающая правой частью уравнения. На основании доказанного выше уравнение эквивалентно уравнению . Ясно, что является корнем уравнения. Убедимся, что других корней уравнение не имеет.

Сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи: 1. Выявить роль тригонометрических уравнений и неравенств при обучении математике; 2. Разработать методику формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства, направленную на развитие тригонометрических представлений; 3. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики. Для решения...

Точек координатной оси. Занятие № 4. Тема: Аналитический метод. Метод «ветвлений». Цель занятия: познакомить учеников с основным методом решения уравнений, содержащих параметр. Литература для учителя: см. , , , , Литература для ученика: см. Краткое содержание: рассмотрение различных значений, принимаемых параметром. Упрощение уравнения и приведение уравнения к произведению...

По алгебре и началам анализа, при подготовке к государственной итоговой аттестации, внешнему независимому оцениванию. Достаточно большое число задач раскрывают потенциальные возможности анализа бесконечно малых величин. 1. Производная и ее применение для решения прикладных задач 1.1 Исторические сведения Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Они встречались у...

Выше теорема свидетельствует о важности априорных оценок для доказательства теорем существования и единственности решений. Глава 2. Приложение Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение с малым вещественным параметром λ: (1) Это уравнение вида А()х = у() – операторное уравнение в С[-π; π], где Покажем, что А() аналитична в т. 0, т.е. разлагается в ряд вида. Разложим функцию...

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 1 Использование производной для решения уравнений, доказательства и решения неравенств Материал для факультативных занятий Пирютко ОН - доцент кафедры математики и методики преподавания математики БГПУ, Ковгореня ЛВ- магистрант кафедры математики и методики преподавания математики БГПУ Традиционно, в школьных учебниках применение производной касается ее физического игеометрического смысла, исследования и построения графиков функций, решения задач на оптимизацию В статье предлагаются материалы на применение производной к решению уравнений, неравенств, доказательству неравенств, которые можно использовать на факультативных занятиях Для организации занятий учителями материалы оформлены в виде конспектов с традиционной структурой урока Для проведения факультативных занятий целесообразно наряду с действующими учебниками, использовать учебники для классов с углубленным изучением математики Использование производной для решения уравнений (занятие 1) Образовательные цели: формировать навыки решения уравненийf(x)=0, исследуя функцию f(x) с помощью производной; формировать навыки доказательства существования корня, единственности корня данного уравнения с помощью производной Развивающие цели: развивать умения применять методы обобщения и конкретизации при применении алгоритмоврешения уравнений; обучать применению аналогии, сравнения, сопоставления, классификации, при выборе того или иного метода решения уравнений Воспитательные цели: воспитывать аккуратность, четкость и последовательность в решении задач; формировать умения планировать собственную учебнопознавательную деятельность Повторение основных теоретических положений Определение возрастания (убывания) функции на данном интервале Функция возрастает (убывает) на данном интервале, если для

2 2 любых точек и из интервала, удовлетворяющих условию справедливо неравенство То есть, Возрастание Убывание Функции возрастающие или убывающие на Iназываются монотонными на I Замечание: если функция непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то его можно присоединить к этому промежутку Достаточный признак возрастания функции Если > 0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I Достаточный признак убывания функции Если

3 3 представляется возможным или приводит к громоздким преобразованиям Если удается доказать, что уравнение не имеет других корней,кроме найденных, то задача решена Если же доказать это не удается, то задача остается нерешенной и следует поискать иной подход к поиску корней 1 Решить уравнение Можно определить, анализируя «удобные»для вычисления корня значения переменойx, что корень данного уравнения Докажем, что этот корень единственный, используя свойства монотонности функции 1 Запишем данное уравнение в виде: 2 Пусть; 3 ; 4, на всей области определения 5 Так как функция возрастает на, то уравнение имеет не более одного корня Следовательно, подобранный кореньединственныйкорень данного уравнения Ответ: Сформулируем алгоритмы решения задач такого типа Алгоритм (I) решения уравнений с помощью производной: 1 Определить, анализируя «удобные»для вычислений значения переменной, корень уравнения 2Привести уравнение к виду; 3Найти область определения функции 4Исследовать функцию на монотонность на или промежутках, принадлежащих; 5Если функция возрастает(убывает) на рассматриваемом промежутке, то сделать вывод о единственности найденного корняуравненияна этом промежутке Алгоритм (II)для определения числа корней уравнения: 1 Привести уравнение к виду; 2 Найти область определения функции;

4 4 3 Исследовать функцию на монотонность на или промежутках, принадлежащих 4 Если возможно, проверить знаки значений функции на концах отрезка из D(f); 5 Сделать вывод: o если внутри интервала (), то существует не более одного значения такого, что; o если на интервале (и то существует единственное значение такое, что Решим следующие уравнения, используя алгоритмi 2 Решить уравнение 1 Определяем, что корень данного уравнения 2 Данное уравнение приведем к виду: 3 ; =0 4 на всей области определения (Заметим, что) 5 Так как функция возрастает на, то найденный корень уравнения - единственный Ответ: 3 Решить уравнение 1 Определяем, что корень данного уравнения 2 Данное уравнение приведем к виду: =0 ; ; 3

5 5 Отметим, что функция является четной, поэтому так же является корнем данного уравнения Поэтому достаточно доказать, что функция является монотонной на полуинтервале; 4 на; 5Так как функция убывает на полуинтервале, то уравнение, в силу четности функции, других корней, отличных от, не имеет Ответ: 4 Решить уравнение 1 Заметим, что корнями данного уравнения являютсязначения 2 Данное уравнение приведем к виду: 3 ; Поскольку функция является четной, достаточно доказать, что она является монотонной на полуинтервале; 4 на полуинтервале; 5 Так как функция возрастает на полуинтервале, то уравнение, в силу четности, других корней, отличных от не имеет Ответ: 5 Доказать, что уравнение имеет единственный корень Применим для доказательства алгоритм II 1 Данное уравнение приведем к виду: ; ; Заметим, что,

6 6 3, 4Поскольку производная обращается в ноль в единственной точке, из 5, то для x имеем возрастает Следовательно, уравнение имеет единственный кореньможно заметить, что этот корень равен 6 Решить уравнение 1 корень данного уравнения; 2 ; 3 D 4 При 5 Так как функция возрастает на полуинтервале, то уравнение не имеет других корней, кроме x=1 Ответ: 7 Решите уравнение 1 Определяем, что корнем данного уравнение является 2 ; 3 D ; 4 Функция является четной*, поэтому так же является корнем Заметим, что x=0 не является корнем данного уравнения Покажем, что функция является монотонной на интервале наинтервале 5Так как функция возрастает на интервале, то уравнение корней отличных от Ответ:, в силу четности функции, других не имеет

7 7 *Доказательство четности: 1) относительно нуля2) Область определения функции симметрична 8 Решить уравнение Можно заметить, что корнем данного уравнения является 1 Пусть; 2 Функция являетсячетной и периодической с основным периодом Поэтому решениями уравнения также будут, Покажем, что других корней уравнение не имеет Таким образом, достаточно убедиться, что функция монотонной, например, на промежутке 3 как,то Так является на указанном промежутке функция является возрастающей 4 Отсюдаследует, что корнями уравнения будут лишь, Ответ:, 9 Решить уравнение Определяем, что корнем данного уравнения является значение переменной 1 Пусть; 2 Заметим, что функция является четной и периодической с основным периодом Поэтому решениями уравнения также будут, Покажем,что других корней уравнение не имеет

8 8 Достаточно убедиться, что функция промежутке 3 является монотонной на На указанном интервале функция является возрастающей 4 Отсюдаследует, что корнями уравнения будут, Ответ:, Следует отметить, что предложенные задачи можно решить и без применения производной Целесообразно рассмотреть и обсудить с учащимися другие методы их решения Приведем краткие решения некоторых уравнений с использованием других подходов 1 Заметим, что при x>0 функция y= x 2 +9 возрастает, убывает, возрастает, возрастает Поэтому значение последней, равное 24, принимается не более, чем при одном значении аргумента Значит, подобранное значение x=4 - единственное решение данного уравнения 2 Заметим, что функция, стоящая в левой части последнего уравнения является возрастающей при x>1, а в правой- убывающей Поэтому данное уравнение может иметь не более одного корня Подобранное значение x=1 - единственный корень данного уравнения 3 Выполним замену:, тогда решение уравнения сводится к решению системы {t+k=4, k 4 +t 4 =82 Второе уравнение приведем к виду: Из этого уравнения находим tk=3 или tk=29 Решая системы {t+k=4, kt=3; {t+k=4, kt=29,получим t=1, k=3 или t=3, k=1 Подставляя в (1), получим x=

9 9 4 Заметив, что с каждым корнем x 0 число - x 0 так же является корнем уравнения, решим его для x>0 Раскрывая скобки и разложив левую часть уравнения на множители, получим: Заметим, что при, поэтому для x>0, следовательно, данное уравнение на промежутке Рассмотрим следующие задачи: 1Доказать, что для Доказательство Рассмотрим функцию промежутке; Исследуем ее на монотонность на откуда следует, что функция убывает для и

11 11 Обозначим через левую границу отрезка: Тогда в силу убывания функции на отрезке по определению убывающей функции для всех х из этого отрезка получим или 2 Доказать, что при, те Доказательство Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить неравенство вида, где, Проведем исследование функции на монотонностьдля x: ;найдем производную функции; В примере 1 показано, что, следовательно, при Функция непрерывна на а производная функции равна нулю в одной точке этого отрезка, следовательно, функция возрастает на рассматриваемом отрезке Обозначим через левую границу отрезка: По определению возрастающей функции, то есть 0для всех, значит 3 Доказать, что для выполняется неравенство Доказательство 1 Пусть 2 ; 3, при Значит точка минимума, теявляется и точкой наименьшего значения функции на 4 Найдем значение функции в точке: 5 Следовательно,для, то есть На основании решения рассмотренных задач можно составить алгоритм(iii) доказательства неравенств с помощью производной: 1 Привести неравенство к виду;

12 12 2 Найти область определения функции; 3 Исследовать функцию на монотонность и экстремумы на или промежутке, принадлежащем 4 Представить 0(в правой части неравенства) как (); 5 Из неравенства сделать вывод: если функция возрастает, то; если функция убывает, то; По данному алгоритму выполним следующие задания: 4 Доказать неравенство для Доказательство 1 Пусть; 2 3, ; 4 Пусть 5 и по определению возрастания функции имеем, те Доказано 5 Доказать, что при Доказательство 1 Пусть; 2 3 при имеем; 4 Пусть 5, будем иметь Доказано, 6 Определить все значения, при которых 1 Пусть; 2

13 13 3, 4 При, при Следовательно, точка максимума функции; Посколькуf(1)=0, то f(x) 0, x 1(1) данное неравенство равносильно неравенству Решим его с помощью замены данного выражения на знакосовпадающее с ним Решая неравенства и, с учетом (1)и условия,получим область определения функцииy = x, Для этих значений переменной неравенство 1равносильно системе неравенств: этой системы x (Cучетом области определения получим ответ: решение данного неравенства x Ответ: x

14 14 8 Верно ли неравенство? 1 Перепишем данное неравенство в виде:, 2 Рассмотрим функцию f(x)= х + сох Исследуя её на монотонность (, получим, что функция возрастаетдля x 3 Пусть, тогда Неравенство оказалось верным 8 Верно ли неравенство? 1 Выполним некоторые преобразования, 2 Пусть, 3 так как, то целесообразно рассматривать функцию на интервале 4, При имеем; при имеем; то есть точка точка максимума, а так как данная точка единственная точка экстремума на интервале, то она является и точкой, в которой функция принимает наибольшее значение 5: для 6Таким образом, те Следовательно, неравенство верное На основании рассмотренных упражнений сформулируем алгоритм(iv) доказательства числовых неравенств с помощью производной 1 Привести неравенство к виду; 2 Определить функцию и исследовать ее на монотонность и экстремумы; 3 Сравнить значения функции в точках 9 Доказать, что? Доказательство

15 15 Преобразуем неравенство к виду:, 1 Рассмотрим функцию 2 Пусть Так как, то рассмотрим функцию на интервале 3, 4, На данном промежутке Используем определение возрастания функции на данном интервале: Аналогично предыдущему получим:, Перемножим полученные неравенства: Доказано 10Докажите что: a) > ; b)? a) 1 Прологарифмируем это неравенство: Последнее неравенство представим в виде, где, ; 2Найдем производную функции:)Следовательно, при, при 3Пусть, Применим определение возрастания функции на данном интервале, получим: b) 1Прологарифмируем это неравенство: ;

16 16, 2 Представим неравенство в виде, где, 3 Найдем производную функции: Следовательно, при, при 4 Пусть, Используем определение убывания функции на данном интервале:, 11 Что больше:? 1 Предположим, что, виде, где, 2Найдем производную функции Последнее неравенство представим в:,следовательно, при, при Поскольку при x=e, то функция убывает для x 3Пусть, Используем определение убывания функции на данном интервале:, те Предположение оказалось неверным Ответ: 12 Что больше? 1 Предположим, что 2, где, ; В примере 10b)показано, что при

17 17, следовательно, функция убывает для 3 Пусть, На данном промежутке убываетиспользуем определение убывания функции на данном интервале:, Предположение оказалось неверным Ответ: Целесообразно рассмотреть и другие способы доказательства и решения неравенств Например, для доказательства неравенства 1 использовать выпуклость и вогнутость функции и касательную к графику функции в точке (0;0) Для доказательства неравенства 2 можно использовать графики функций, стоящих в левой и правой частях неравенства, и их свойства Для доказательства неравенства 3 можно использовать свойство взаимно обратных чисел:, последнее неравенство справедливо Для сравнения числовых выражений в 12 можно использовать прием сравнения каждого выражения с промежуточным числом Можно показать, что, а Действительно, >, (> Откуда следует, что Задания для самостоятельной работы: 1? 2 Что больше 2tg1 èëè tg2? 3 Доказать, что при справедливо неравенство 4 Доказать, что при 5 Что больше: 6 Что больше:? 7 Решить неравенство Литература 1Виленкин, Н Я Ивашев МусатовОСидр «Алгебра начала анализа»10 (углубленное изучение математики)/ ИЯ Виленкин, - М: Просвещение2000 2Колмогоров,АН, Абрамов АМ,- и др «Алгебра начала анализа» (учебник для классов средней школы)/ АН Колмогоров М: Просвещение, Пирютко, ОН Формирование обобщенных приемов познавательной

18 18 деятельности / Пирютко ОН// Народная асвета -9, 2008С 32-40

19 19

Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + () Таблица производных: Производная

Функция Исследование функций и построение графиков. Исследование на монотонность на интервале. f на интервале b не убывает, если f f ; не возрастает, если f f ; a, монотонно строго возрастает, если f f

Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Построение графиков функций с помощью производной Способ построения графика функции по точкам несовершенен. Даже вычисление ординат большого числа точек может не дать точное представление о графике, а,

1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна 7 78-57 Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений,

Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Применение дифференциального исчисления в исследовании функции Монотонность функции Локальный экстремум Выпуклость Монотонность функции Опр. Функция f x возрастает на интервале (a, b), если x 1, x 2 a,

Производная и правила дифференцирования Пусть функция y = f получила приращение y f 0 f 0 соответствующее приращению аргумента 0 Определение Если существует предел отношения приращения функции y к вызвавшему

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функций. Теорема.) Если функция f) имеет производную на отрезке и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке

М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМЕНИ

Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Лекция 23 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале График

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si (si)(7 y)

Практическая работа Полное исследование функции и построение графика Цель: закрепить навыки исследования функций и построения графиков Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические

Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Практическая работа 6 Тема: «Полное исследование функций. Построение графиков» Цель работы: научиться исследовать функции по общей схеме и строить графики. В результате выполнения работы студент должен:

Требования к уровню подготовки учащихся по алгебре и началам математического анализа в 0- классах. В результате изучения математики на углубленном уровне значение математической науки для решения задач,

С. шестаков, [email protected], г. Москва 9 классы. Начало см. в,/05 Решаем неравенства п о в ы ш е н и е к в а л и ф и к а ц и и / л е к т о р и й.. Метод введения новой переменной Метод введения новой переменной

Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)

ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по предмету Алгебра 1Планируемые результаты освоения учебного предмета ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ОБУЧАЮЩИХСЯ В результате изучения курса алгебры и

ВА Шилинец, доцент кафедры математики БГПУ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С АРКФУНКЦИЯМИ Обучение математике происходит в процессе решения задач, среди которых особую роль играют задачи исследовательского характера

Модуль и производная В.В. Сильвестров При решении некоторых задач приходится находить производную функции, содержащей один или несколько модулей. Такие задачи возможны и на едином государственном экзамене

Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Сергей А Беляев стр 1 Математический минимум Часть 1 Теоретическая 1 Верно ли определение Наименьшим общим кратным двух целых чисел называется наименьшее число, которое делится на каждое из заданных чисел

График производной функции Промежутки монотонности функции Пример 1. На рисунке изображен график y =f (x) производной функции f (x), определенной на интервале (1;13). Найдите промежутки возрастания функции

Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Логарифмические уравнения и неравенства Логарифмические уравнения и неравенства это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком

МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Практическая работа «Применение производной к исследованию функций» Цель: закрепить и проверить ЗУН по исследованию функций с помощью производной Оборудование: канцелярские принадлежности, методическая

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Пояснительная записка Настоящая рабочая программа «Алгебра и начала анализа» разработана на основе: - Федерального закона от 29.12.2012 273-ФЗ (ред. От 13.07.2015) «Об образовании в Российской Федерации»;

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f " d, где f " и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 4 г. Балтийска Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, базовый уровень Балтийск

Научно-исследовательская работа Математика «Применение экстремальных свойств функции для решения уравнений» Выполнила: Гудкова Елена обучающаяся 11 класса «Г» МБОУ СОШ «Аннинский Лицей» п.г.т. Анна Руководитель:

1. Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательности. Теорема (о единственности предела). Последовательность может иметь не более одного предела. Доказательство. Пусть

КАЛЕНДАРНО ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ Алгебра и начала математического анализа класс п/п п/т Тема урока Колво часов Вводное повторение 2 Корни, степени, логарифмы 2 2 Тригонометрические функции, тригонометрические

{ интервалы монотонного возрастания и убывания функции - выпуклость функции на промежутке - точки перегиба - асимптоты - построение графика функции } Интервалы монотонного возрастания и убывания функции

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Построить график функции y Областью определения функции является интервал (;0) (0;) Функция y является четной, тк y() y(), а () график функции симметричен относительно оси OY 3Рассмотрим поведение

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

98 МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ГЕОМЕТРИЯ Решения уравнений основанные на свойствах выпуклой функции Липатова СВ г Калуга МБОУ «Лицей 9 имени КЭ Циолковского» 0 «А» класс Научный руководитель:

П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f (), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ МОиАИС 1-Й СЕМЕСТР ГРАЖДАНЦЕВА Е.Ю. Глава 1 Исследование функции одной переменной 1.1 Признаки возрастания и убывания. Определение. Функция f(x), определенная

Ребята, на прошлом уроке мы с вами узнали новое, особенное число е. Сегодня мы продолжим работать с этим числом. Мы с вами изучили логарифмы и знаем, что в основании логарифма может стоять множество чисел

Исследование функций и построение графиков Теоретический материал Содержание 1) Область определения функции 2) Свойства функции (четность, нечетность, периодичность) 4) Точки пересечения функции с осями

ББК 22.161 НОВЫЙ ПОДХОД В МЕТОДИКЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ НА УБЫВАНИЕ И ВОЗРАСТАНИЕ А.Д. Новиков ГОУ ВПО «Армавирский государственный педагогический институт», г. Армавир Ключевые слова и фразы: возрастание

Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 11 КЛАСС Базовый уровень Преподавание математики в основной школе в 2018/2019 учебном году определяется следующими нормативными документами: -

Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0, коэффициентами

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f (на промежутке (a ; b, то на этом промежутке функция f (возрастает Если f (на промежутке

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Исследование поведения функции с помощью производных Интервалы монотонности. Экстремумы Определение. Промежутки, на которых функция f (x) возрастает (убывает),

Wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и 5 7 5 4 8 6 б) Сравните числа (+)(+)(+)(+)(+) и 999 999 999 в) Сравните числа si0 cos0 и si 40

Доказательства тождества можно достигнуть иногда, если воспользоваться одним очевидным замечанием:

Если на некотором интервале функция тождественно равна постоянной, то ее производная на этом интервале постоянно равна нулю:

на
на
.

Задача 1. Проверить тождество:

Вычислим ее производную (по х ):

Поэтому (замечание)
. Следовательно,
что равносильно тождеству (1).

Задача 2. Проверить тождество:

(2)

Доказательство: Рассмотрим функцию

Докажем, что

Найдем ее производную:

Значит
.
Прих=0
,следовательно,тождество (2) верно.

В связи с рассмотренными примерами можно отметить, что при нахождении постоянной, интегрирования С полезно фиксировать значения переменной, по которой производится дифференцирование, таким образом, чтобы получить возможно более простые выкладки.

9.3. Применение производной для упрощения алгебраических и тригонометрических выражений.

Прием использования производной для преобразования алгебраических и тригонометрических выражений основан на том, производная иногда имеет значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование исходного выражения:

Задача 1 Упростить выражение:

Решение: Обозначив данное выражение
будем иметь:

Таким образом, заданное выражение (1) равно
.

Задача 2. Упростить выражение:

Решение: Обозначив это выражение через
, будем иметь:

и при
получаем:

Так что

Задача 3. Упростить запись функции:

Решение: Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к относительно громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться производной:

Отсюда

Найдём :

Таким образом функция (2) равна

Задача 4. Упростить запись многочлена:

Решение: Обозначим многочлен (3) через
и найдём последовательно первую и вторую производные этой функции:

Ясно, что
Поэтому
, где
, найдём: при

,
.

9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной.

Задача 1. Разложить на множители выражение:

Решение: Считая переменной, аипостоянными фиксированными (параметрами) и обозначая заданное выражение через
, будем иметь:

Поэтому (2)

где - постоянная, т.е. в данном случае - выражение, зависящее от параметрови. Для нахожденияв равенстве
положим
тогда
.

Получим

Задача 2. Разложить на множители выражение:

Решение: Поскольку переменная входит в данное выражение в наименьшей степени, рассмотрим его, как функцию
и будем иметь:

получим:

Таким образом, исходное выражение (3) равно

Задача 3. Разложить на множители выражение:

Решение: Обозначив данное выражение через
и считаяипостоянными, получим:

откуда , гдезависит только оти. Положив в этом тождестве
, получим
и

Для разложения на множители второго множителя используем тот же приём, но в качестве переменной рассмотрим , поскольку эта переменная входит в меньшей степени, чем. Обозначая его через
и считаяипостоянными, будем иметь:

Таким образом исходное выражение (4) равно

9.5. Применение производной в вопросах существования корней уравнений.

С помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение. Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных функций:

Задача 1. Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнение
имеет не более одного корня.

Решение: Область определения данного уравнения - промежуток
определение на этом промежутке функцию, положив

Тогда, на

,

и таким образом функция - возрастающая, так что данное уравнение (1) не может иметь более одного решения.

Задача 2. При каких значениях
имеет решения уравнение

Решение: область определения уравнения - отрезок
, рассмотрим функцию, положив

Тогда на открытом промежутке

, так что - единственная критическая точка функции, являющаяся, очевидно, точкой максимума. Поскольку

топримет наибольшее значение при, а наименьшее значение - при
.

Так как функция непрерывна, то её область значений представляет собой отрезок
, между её наименьшим и наибольшим значением. Другими словами, исходное уравнение (2) имеет решения при
.

Производная широко применяется при решении ряда задач элементарной математики. Из всего круга таких задач выделим те, при решении которых используется теорема Лагранжа и ее следствия. К ним относятся задачи на доказательство тождеств, неравенств, вывод формул тригонометрии, разложение алгебраических выражений на множители, решение уравнений, неравенств, систем уравнений, уравнений с параметрами. При этом можно указать общие методы решения и некоторые частные приемы.

Теорема Лагранжа. Пусть функция f непрерывна на отрезке и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Тогда существует внутренняя точка с этого отрезка, такая, что .

Следствие 1 (условие постоянства). Если функция f непрерывна на отрезке , а ее производная равна нулю внутри этого отрезка, то функция f постоянна на .

Следствие 2. Если функции и непрерывны на отрезке и имеют одинаковые производные внутри этого отрезка, то они отличаются лишь постоянным слагаемым.

Условие монотонности функции также является следствием теоремы Лагранжа. В школьном учебнике оно устанавливается отдельно в виде теоремы.

Следствие 3 (условие монотонности ). Если функция f непрерывна на промежутке I и ее производная положительна (соответственно отрицательна) во внутренних точках этого промежутка, то функция f возрастает (соответственно убывает) на I.

Теорему Лагранжа можно применять:

При доказательстве неравенств, в частности – числовых неравенств;

При исследовании вопроса о корнях многочлена или уравнения;

При решении уравнений.

В процессе решения таких задач вводится в рассмотрение функция f(x) на отрезке , удовлетворяющая условиям теоремы Лагранжа, для нее записывается формула Лагранжа , c (a;b) и оценивается f’(c), а, следовательно, и выражение , что позволяет доказать рассматриваемое неравенство или решить вопрос о корнях многочлена, уравнения.

Пример 1. Доказать, что .

Решение. Функция f(x)=arccosx на отрезке непрерывна и дифференцируема на интервале (0,6;0,8), . Следовательно, для функции f(x) на данном отрезке выполняются условия теоремы Лагранжа и , где 0,6, т.е. . Оценим число. Так как 0,6. Тогда и окончательно .

Пример 2. Доказать, что e x >=ex.

Решение. Неравенство справедливо при х=1. Рассмотрим функцию f(x)=e x -ex. Тогда для любого числа b (b>1) для данной функции выполняются условия теоремы Лагранжа на отрезке , а для b, т.е. . Так как c>1 при b>1, то e c >e и, следовательно, e c -e>0. Тогда , а значит e b -eb>0, т.е. e b >eb для любого b>1. Таким образом доказано, что e x >=ex при x>=1.

Если b, т.е. с, следует, что e b -eb>0, т.е. e b >eb.

Итак, доказано, что неравенство e x >=ex верно при любом действительном х. В частности, при x=c+1 получим e c+1 >=e(c+1), т.е. e c >=c+1, где с – любое действительное число.

Пример 3. Доказать, что уравнение не имеет действительных положительных корней.

Решение. Пусть b – любое положительное число. Рассмотрим функцию f(x)= , непрерывную на отрезке и имеющую производную на интервале (0;b). По теореме Лагранжа имеем , 0. А так как при любом с>0 e c >c+1 (доказано в примере 2), то e c -c>1 и, следовательно, . Отсюда получим , а значит для любого b>0. Таким образом, при x>0, т.е. , следовательно, равенство не выполняется ни при каком x>0. А, значит, уравнение не имеет действительных положительных корней.

Пример 4. Доказать, что на промежутке (0, 2) имеется не более двух различных действительных корней уравнения .

Решение. Предположим, что уравнение имеет не менее трех различных действительных корней х 1 , х 2 , х 3 , принадлежащих промежутку (0,2), и пусть x 1 , т.е. f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0. На каждом из отрезков , для функции f(x) выполняются условия теоремы Лагранжа, следовательно, существуют числа c 1 и с 2 из интервалов (х 1 ;х 2), (х 2 ;х 3) соответственно, такие, что и . А так как f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0, то f’(c 1)=0 и f’(c 2)=0, причем с 1 с 2 .

Найдем производную f’(x):

. Так как для любых х, то уравнение f’(x)=0 имеет единственный корень x=, принадлежащий промежутку (0, 2). Пришли к противоречию, так как с 1 и с 2 (с 1 с 2) являются корнями уравнения f’(x)=0, тем самым доказано, что уравнение имеет на промежутке (0,2) не более двух различных действительных корней.

Пример 5. Решить уравнение x 9 -9x 5 +63x-55=0.

Решение. Легко заметить, что число х 1 =1 является корнем данного уравнения. Предположим, что существует еще хотя бы один действительный корень х 2 , отличный от х 1 . Числа х 1 и х 2 являются нулями функции f(x)=x 9 -9x 5 +63x-55 и, следовательно, f(x 1)=f(x 2)=0. Применим терему Лагранжа к функции f(x) на отрезке , если x 1 x 2 . Следовательно, найдется такая внутренняя точка с этого отрезка, что будет выполняться . Учитывая, что f(x 1)=f(x 2)=0, получим f’(с)=0, т.е. число с – корень уравнения f’(x)=0. Но производная f’(x)=9x 8 -45x 4 +63, т.е. f’(x)=9(x 4 -2,5) 2 +6,75 положительна для любых х, а значит уравнение f’(x)=0 не имеет корней. Полученное противоречие доказывает, что найденный корень х 1 =1 является единственным корнем уравнения x 9 -9x 5 +63x-55=0.

Определить число критических точек функции y=(x 2 -1)(x 2 -8х)(x-9).

Решение. Так как степень многочлена f(x)= (x 2 -1)(x 2 -8х)(x-9) равна 5, то его производная f’(x) является многочленом четвертой степени и имеет не более четырех действительных корней. Применим теорему Лагранжа к функции f(x)=(x+1)(x-1)х(x-8)(x-9) на отрезках [-1;0], , , и при этом учтем, что f(-1)=f(0)=f(1)=f(8)=f(9)=0. На каждом таком отрезке найдутся внутренние точки х 1 , х 2 , х 3 , х 4 соответственно, такие, что , , , , т.е. f’(x 1)=0, f’(x 2)=0, f’(x 3)=0, f’(x 4)=0. А учитывая, что x 1 , х 2 , х 3 , х 4 – различные корни многочлена f’(x) четвертой степени, делаем вывод, что других корней, отличных от полученных, нет и, следовательно, функция y=(x 2 -1)(x 2 -8х)(x-9) имеет четыре критические точки.

Условие монотонности функции можно применять:

При решении неравенств;

При доказательстве неравенств с переменной;

При доказательстве числовых неравенств;

При исследовании вопроса о количестве корней уравнения;

В некоторых случаях при решении уравнений, уравнений с параметрами, систем уравнений.

Решение задач с использованием условия монотонности основано на связи между возрастанием или убыванием функции и знаком ее производной на некотором промежутке. При этом, сравнивая различные значения аргумента из этого промежутка рассматриваемой монотонной функции, делается вывод о соответствующих значениях данной функции.

Пример 7. Доказать, что 3xcosx.

Решение. Докажем, что, если 0, то sinx+sin2x-3xcosx>0, т.е. cosx(tgx+2sinx-3x)>0. Рассмотрим непрерывную на промежутке функцию f(x)=tgx-3x+2sinx. Ее производная при принимает положительные значения, следовательно, функция f(x) возрастает на промежутке и на нем f(x)>f(0).

Учитывая, что f(0)=0, будем иметь tgx-3x+2sinx>0. А так как на промежутке cosx>0, то и cosx(tgx+2sinx-3x)>0. Таким образом доказано, что sinx+sin2x-3xcosx>0, то есть, что 3xcosx.

Пример 8. Доказать, что

1) и , если 0

2) и , если e

Решение. Рассмотрим непрерывную на промежутке (0;+) функцию . Так как ее производная равна нулю при х=е, а при 00 и f’(x)e, то на промежутке (0;e] функция f(x) возрастает, а на промежутке , – убывает. Вычислим значения функции в точках х=-3, х=-2, х=2, х=5. Имеем f(-3)=-10, f(2)=-510. Так как функция f(x) на концах отрезков [-3;-2], [-2;2], принимает значения разных знаков, то на каждом из них имеется только один корень уравнения. Таким образом, уравнение 2х 3 -24х-19=0 имеет три действительных корня, которые находятся на промежутках (-3;-2), (-2;2), (2;5).

Остальные следствия теоремы Лагранжа можно применять:

При доказательстве тождеств, в частности при выводе формул элементарной математики;

При упрощении выражений;

При разложении алгебраических выражений на множители.

При решении ряда таких задач на некотором промежутке рассматривается либо одна функция f(x), такая, что ее производная f’(x)=0 и, следовательно, функция постоянна, т.е. имеет вид f(x)=c, либо две функции f(x) и g(x), такие, что f’(x)=g’(x), и делается вывод, что f(x)=g(x)+c (c - постоянная). Эту постоянную находят, положив х равным некоторому значению х 1 .

Пример 12. Вывести формулу .

Решение. Функция f(x)= непрерывна на всей числовой прямой. Найдем производную этой функции f’(x)=2sinxcosx-sin2x=sin2x-sin2x. f’(x)=0 для любого действительного значения х, следовательно, на основании условия постоянства функции можно сделать вывод, что функция f(x) постоянна, т.е. f(x)=c. Для определения постоянной c положим х=0 и получим f(0)=c, т.е. sin 2 0-0,5+0,5cos0=c. Таким образом, с=0 и значит f(x)=0, откуда и получим =0, или .

Пример 13. Доказать, что arctgx=arcsin при x

Решение. Рассмотрим две непрерывные на промежутке (-;0] функции f(x)=arctgx и g(x)=arcsin, тогда они непрерывны на любом отрезке . Найдем производные этих функций.

, . Так как при x и тогда f’(x)=g’(x) внутри отрезка . На основании следствия 2 имеем f(x)=g(x)+c, где с – постоянная. Для определения с положим, например, х=-1, что дает arctg(-1)=arcsin, то есть Итак, получим arctgx=arcsin при x

Производная широко применяется при решении ряда задач элементарной математики. Из всего круга таких задач выделим те, при решении которых используется теорема Лагранжа и ее следствия. К ним относятся задачи на доказательство тождеств, неравенств, вывод формул тригонометрии, разложение алгебраических выражений на множители, решение уравнений, неравенств, систем уравнений, уравнений с параметрами. При этом можно указать общие методы решения и некоторые частные приемы.

Теорема Лагранжа. Пусть функция f непрерывна на отрезке и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Тогда существует внутренняя точка с этого отрезка, такая, что .

Следствие 1 (условие постоянства). Если функция f непрерывна на отрезке , а ее производная равна нулю внутри этого отрезка, то функция f постоянна на .

Следствие 2. Если функции и непрерывны на отрезке и имеют одинаковые производные внутри этого отрезка, то они отличаются лишь постоянным слагаемым.

Условие монотонности функции также является следствием теоремы Лагранжа. В школьном учебнике оно устанавливается отдельно в виде теоремы.

Следствие 3 (условие монотонности ). Если функция f непрерывна на промежутке I и ее производная положительна (соответственно отрицательна) во внутренних точках этого промежутка, то функция f возрастает (соответственно убывает) на I.

Теорему Лагранжа можно применять:

При доказательстве неравенств, в частности – числовых неравенств;

При исследовании вопроса о корнях многочлена или уравнения;

При решении уравнений.

В процессе решения таких задач вводится в рассмотрение функция f(x) на отрезке , удовлетворяющая условиям теоремы Лагранжа, для нее записывается формула Лагранжа , c (a;b) и оценивается f’(c), а, следовательно, и выражение , что позволяет доказать рассматриваемое неравенство или решить вопрос о корнях многочлена, уравнения.

Пример 1. Доказать, что .

Решение. Функция f(x)=arccosx на отрезке непрерывна и дифференцируема на интервале (0,6;0,8), . Следовательно, для функции f(x) на данном отрезке выполняются условия теоремы Лагранжа и , где 0,6, т.е. . Оценим число. Так как 0,6. Тогда и окончательно .

Пример 2. Доказать, что e x >=ex.

Решение. Неравенство справедливо при х=1. Рассмотрим функцию f(x)=e x -ex. Тогда для любого числа b (b>1) для данной функции выполняются условия теоремы Лагранжа на отрезке , а для b, т.е. . Так как c>1 при b>1, то e c >e и, следовательно, e c -e>0. Тогда , а значит e b -eb>0, т.е. e b >eb для любого b>1. Таким образом доказано, что e x >=ex при x>=1.

Если b, т.е. с, следует, что e b -eb>0, т.е. e b >eb.

Итак, доказано, что неравенство e x >=ex верно при любом действительном х. В частности, при x=c+1 получим e c+1 >=e(c+1), т.е. e c >=c+1, где с – любое действительное число.

Пример 3. Доказать, что уравнение не имеет действительных положительных корней.

Решение. Пусть b – любое положительное число. Рассмотрим функцию f(x)= , непрерывную на отрезке и имеющую производную на интервале (0;b). По теореме Лагранжа имеем , 0. А так как при любом с>0 e c >c+1 (доказано в примере 2), то e c -c>1 и, следовательно, . Отсюда получим , а значит для любого b>0. Таким образом, при x>0, т.е. , следовательно, равенство не выполняется ни при каком x>0. А, значит, уравнение не имеет действительных положительных корней.

Пример 4. Доказать, что на промежутке (0, 2) имеется не более двух различных действительных корней уравнения .

Решение. Предположим, что уравнение имеет не менее трех различных действительных корней х 1 , х 2 , х 3 , принадлежащих промежутку (0,2), и пусть x 1 , т.е. f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0. На каждом из отрезков , для функции f(x) выполняются условия теоремы Лагранжа, следовательно, существуют числа c 1 и с 2 из интервалов (х 1 ;х 2), (х 2 ;х 3) соответственно, такие, что и . А так как f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0, то f’(c 1)=0 и f’(c 2)=0, причем с 1 с 2 .

Найдем производную f’(x):

. Так как для любых х, то уравнение f’(x)=0 имеет единственный корень x=, принадлежащий промежутку (0, 2). Пришли к противоречию, так как с 1 и с 2 (с 1 с 2) являются корнями уравнения f’(x)=0, тем самым доказано, что уравнение имеет на промежутке (0,2) не более двух различных действительных корней.

Пример 5. Решить уравнение x 9 -9x 5 +63x-55=0.

Решение. Легко заметить, что число х 1 =1 является корнем данного уравнения. Предположим, что существует еще хотя бы один действительный корень х 2 , отличный от х 1 . Числа х 1 и х 2 являются нулями функции f(x)=x 9 -9x 5 +63x-55 и, следовательно, f(x 1)=f(x 2)=0. Применим терему Лагранжа к функции f(x) на отрезке , если x 1 x 2 . Следовательно, найдется такая внутренняя точка с этого отрезка, что будет выполняться . Учитывая, что f(x 1)=f(x 2)=0, получим f’(с)=0, т.е. число с – корень уравнения f’(x)=0. Но производная f’(x)=9x 8 -45x 4 +63, т.е. f’(x)=9(x 4 -2,5) 2 +6,75 положительна для любых х, а значит уравнение f’(x)=0 не имеет корней. Полученное противоречие доказывает, что найденный корень х 1 =1 является единственным корнем уравнения x 9 -9x 5 +63x-55=0.

Определить число критических точек функции y=(x 2 -1)(x 2 -8х)(x-9).

Решение. Так как степень многочлена f(x)= (x 2 -1)(x 2 -8х)(x-9) равна 5, то его производная f’(x) является многочленом четвертой степени и имеет не более четырех действительных корней. Применим теорему Лагранжа к функции f(x)=(x+1)(x-1)х(x-8)(x-9) на отрезках [-1;0], , , и при этом учтем, что f(-1)=f(0)=f(1)=f(8)=f(9)=0. На каждом таком отрезке найдутся внутренние точки х 1 , х 2 , х 3 , х 4 соответственно, такие, что , , , , т.е. f’(x 1)=0, f’(x 2)=0, f’(x 3)=0, f’(x 4)=0. А учитывая, что x 1 , х 2 , х 3 , х 4 – различные корни многочлена f’(x) четвертой степени, делаем вывод, что других корней, отличных от полученных, нет и, следовательно, функция y=(x 2 -1)(x 2 -8х)(x-9) имеет четыре критические точки.

Условие монотонности функции можно применять:

При решении неравенств;

При доказательстве неравенств с переменной;

При доказательстве числовых неравенств;

При исследовании вопроса о количестве корней уравнения;

В некоторых случаях при решении уравнений, уравнений с параметрами, систем уравнений.

Решение задач с использованием условия монотонности основано на связи между возрастанием или убыванием функции и знаком ее производной на некотором промежутке. При этом, сравнивая различные значения аргумента из этого промежутка рассматриваемой монотонной функции, делается вывод о соответствующих значениях данной функции.

Пример 7. Доказать, что 3xcosx.

Решение. Докажем, что, если 0, то sinx+sin2x-3xcosx>0, т.е. cosx(tgx+2sinx-3x)>0. Рассмотрим непрерывную на промежутке функцию f(x)=tgx-3x+2sinx. Ее производная при принимает положительные значения, следовательно, функция f(x) возрастает на промежутке и на нем f(x)>f(0).

Учитывая, что f(0)=0, будем иметь tgx-3x+2sinx>0. А так как на промежутке cosx>0, то и cosx(tgx+2sinx-3x)>0. Таким образом доказано, что sinx+sin2x-3xcosx>0, то есть, что 3xcosx.

Пример 8. Доказать, что

1) и , если 0

2) и , если e

Решение. Рассмотрим непрерывную на промежутке (0;+) функцию . Так как ее производная равна нулю при х=е, а при 00 и f’(x)e, то на промежутке (0;e] функция f(x) возрастает, а на промежутке , – убывает. Вычислим значения функции в точках х=-3, х=-2, х=2, х=5. Имеем f(-3)=-10, f(2)=-510. Так как функция f(x) на концах отрезков [-3;-2], [-2;2], принимает значения разных знаков, то на каждом из них имеется только один корень уравнения. Таким образом, уравнение 2х 3 -24х-19=0 имеет три действительных корня, которые находятся на промежутках (-3;-2), (-2;2), (2;5).

Остальные следствия теоремы Лагранжа можно применять:

При доказательстве тождеств, в частности при выводе формул элементарной математики;

При упрощении выражений;

При разложении алгебраических выражений на множители.

При решении ряда таких задач на некотором промежутке рассматривается либо одна функция f(x), такая, что ее производная f’(x)=0 и, следовательно, функция постоянна, т.е. имеет вид f(x)=c, либо две функции f(x) и g(x), такие, что f’(x)=g’(x), и делается вывод, что f(x)=g(x)+c (c - постоянная). Эту постоянную находят, положив х равным некоторому значению х 1 .

Пример 12. Вывести формулу .

Решение. Функция f(x)= непрерывна на всей числовой прямой. Найдем производную этой функции f’(x)=2sinxcosx-sin2x=sin2x-sin2x. f’(x)=0 для любого действительного значения х, следовательно, на основании условия постоянства функции можно сделать вывод, что функция f(x) постоянна, т.е. f(x)=c. Для определения постоянной c положим х=0 и получим f(0)=c, т.е. sin 2 0-0,5+0,5cos0=c. Таким образом, с=0 и значит f(x)=0, откуда и получим =0, или .

Пример 13. Доказать, что arctgx=arcsin при x

Решение. Рассмотрим две непрерывные на промежутке (-;0] функции f(x)=arctgx и g(x)=arcsin, тогда они непрерывны на любом отрезке . Найдем производные этих функций.

, . Так как при x и тогда f’(x)=g’(x) внутри отрезка . На основании следствия 2 имеем f(x)=g(x)+c, где с – постоянная. Для определения с положим, например, х=-1, что дает arctg(-1)=arcsin, то есть Итак, получим arctgx=arcsin при x

Пример 14. Доказать тождество

Решение. Заметим, что , для любого действительного х и функции , непрерывны на всей числовой прямой. Имеем ,

.

1) Рассмотрим функцию F(x)=f(x)+g(x), x (-;-1) (0;1).

F(x)= , а F’(x)=f’(x)+g’(x)= . Если x (-;-1), то |х 2 -1|=х 2 -1, |х|=-х и F’(x)=0. Если x (0;1), то |х 2 -1|=-(х 2 -1), |х|=х и F’(x)=0. На основании условия постоянства функции F(x)=c, то есть . На каждом из рассматриваемых промежутков определим с, положив, например, х= и x=.

, cледовательно, с=.

, следовательно, с=0. Имеем: при x (-;-1), при x (0;1).

2) Рассмотрим функцию G(x)=f(x)-g(x), x (-1;0) (1; +).

, .

Если x (-1;0), то |х 2 -1|=-(х 2 -1), |x|=-x и G’(x)=0.

Если x (1; +), то |х 2 -1|=х 2 -1, |x|=x и G’(x)=0. Тогда на указанных промежутках функция G(x) постоянна, т.е. . Положим x= и x=, получим , следовательно, с=; , тогда с=0.

Имеем: при x (-1;0), при x (1;+ ).

3) Вычислим значения f(x) и g(x) при х=± 1 и х=0.

f(-1)=arccos(-1)=, g(-1)=arcsin0=0; следовательно, при х=-1 f(x)=+g(x), то есть . , , следовательно, при х=0 f(x)=-g(x), то есть . f(1)=arccos1=0, g(1)=arcsin0=0, следовательно, при х= 1 f(x)=g(x), то есть .

Таким образом, данное тождество доказано для всех действительных х.

Пример 15. Разложить на множители выражение

y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x).

Решение. На данное выражение будем смотреть как на функцию от переменной х: f(x)=y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x).

Найдем f’(x).

f’(x)=y 2 +2x(z-y)-z 2 =y 2 -z 2 -2x(y-z)=(y-z)(y+z)-2x(y-z)=(y-z)(y+z-2x).

g’(x)=(y-z)((y+z)-2x). В качестве функции g(x) можно взять g(x)=(y-z)((y-z)x-x 2).

Так как функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы на всей числовой прямой и f’(x)=g’(x), то по следствию 2 f(x)=g(x)+c, где с не зависит от х, но, возможно, зависит от y и z. Имеем y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x)=(y-z)((y+z)x-x 2)+c. Найдем с, полагая в этом равенстве, например, х=0. Имеем yz 2 -zy 2 =c. Тогда f(x)=g(x)+yz 2 -zy 2 , то есть

f(x)=(y-z)((y+z)x-x 2)+yz 2 -zy 2 =(y-z)(xy+xz-x 2)-yz(y-z)=(y-z)(xy-x 2 +xz-yz)=(y-z)(x(y-x)-z(y-x))=(y-z)(y-x)(x-z).

Итак, y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x)=(y-z)(y-x)(x-z).