3 в разных степенях. Возведение в степень. Операции с корнями

Экспоненту обозначают так , или .

Число e

Основанием степени экспоненты является число e . Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045...

Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел :
.

Также число e можно представить в виде ряда:
.

График экспоненты

На графике представлена экспонента, е в степени х .
y(x) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

;
;
;

Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.

Частные значения

Пусть y(x) = e x . Тогда
.

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
- ∞ Ее множество значений:
0 .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера :
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

; ;
.

Выражения через тригонометрические функции

; ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Введите число и степень, затем нажмите =.

Таблица степеней

Свойства степени - 2 части

Таблица основных степеней по алгебре в компактном виде (картинка, удобно, чтобы распечатать), сверху числа, сбоку степени.

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

Степенной называется функция вида y=x n (читается как y равно х в степени n), где n – некоторое заданное число. Частными случаями степенных функций является функции вида y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x и многие другие. Расскажем подробнее о каждой из них.

Линейная функция y=x 1 (y=x)

График прямая линия, проходящая через точку (0;0) под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох.

График представлен ниже.

Основные свойства линейной функции:

• Функция возрастающая и определена на всей числовой оси.
• Не имеет максимального и минимального значений.

Квадратичная функция y=x 2

Графиком квадратичной функции является парабола.

Основные свойства квадратичной функции:

• 1. При х =0, у=0, и у>0 при х0
• 2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
• 3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке , синус которого равен а.

  arcsin (- a )=- arcsin a .

  Арккосинусом числа а (arccos a) называется угол из промежутка , косинус которого равен а.

  arccos (-a)= π – arccosa.

  Арктангенсом числа а (arctg a) называется угол из промежутка (-π/2; π/2), тангенс которого равен а.

  arctg (- a )=- arctg a .

  Арккотангенсом числа а (arcctg a) называется угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен а.

  arcctg (-a)= π – arcctg a.

  Решение простейших тригонометрических уравнений.

  Общие формулы.

  1) sin t=a, 0

  2) sin t = — a, 0

  3) cos t=a, 0

  4) cos t =-a, 0

  5) tg t =a, a>0, тогда t=arctg a + πn, nϵZ;

  6) tg t =-a, a>0, тогда t= — arctg a + πn, nϵZ;

  7) ctg t=a, a>0, тогда t=arcctg a + πn, nϵZ;

  8) ctg t= -a, a>0, тогда t=π – arcctg a + πn, nϵZ.

  Частные формулы.

  1) sin t =0, тогда t=πn, nϵZ;

  2) sin t=1, тогда t= π/2 +2πn, nϵZ;

  3) sin t= -1, тогда t= — π/2 +2πn, nϵZ;

  4) cos t=0, тогда t= π/2+ πn, nϵZ;

  5) cos t=1, тогда t=2πn, nϵZ;

  6) cos t=1, тогда t=π +2πn, nϵZ;

  7) tg t =0, тогда t = πn, nϵZ;

  8) ctg t=0, тогда t = π/2+πn, nϵZ.

  Решение простейших тригонометрических неравенств.

  1) sint

  2) sint>a (|a|

  3) cost

  4) cost>a (|a|

  5) tgt

  6) tgt>a, arctga+πn

  7) ctgt

  8) ctgt>a, πn

  Прямая на плоскости.

  • Общее уравнение прямой: Ax+By+C=0.
  • Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y=kx+b (k – угловой коэффициент).
  • Острый угол между прямыми y=k 1 x+b 1 и y=k 2 x+b 2 определяется по формуле:

  

  • k 1 =k 2 — условие параллельности прямых y=k 1 x+b 1 и y=k 2 x+b 2.
  • Условие перпендикулярности этих же прямых:
  • Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k, и проходящей

  через точку М(х 1 ; у 1), имеет вид: у-у 1 =k (х-х 1).

  • Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х 1; у 1) и (х 2 ; у 2) имеет вид:

  

  • Длина отрезка М 1 М 2 с концами в точках М 1 (х 1; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2):
  • Координаты точки М(х о; у о) – середины отрезка М 1 М 2

  

  • Координаты точки С(х; у), делящей в заданном отношении λ отрезок М 1 М 2 между точками М 1 (х 1; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2):

  

  • Расстояние от точки М(х о; у о) до прямой ax+by+c=0:

  Уравнение окружности.

  • Окружность с центром в начале координат: x 2 +y 2 =r 2 , r – радиус окружности.
  • Окружность с центром в точке (a; b) и радиусом r: (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 .

  Пределы.

  Преобразование (конструирование) графиков функций.

  • График функцииy =- f (x ) получается из графика функции y=f (x) зеркальным отражением от оси абсцисс.
  • График функции y =| f (x )| получается зеркальным отражением от оси абсцисс той части графика функции y=f (x), которая лежит ниже оси абсцисс.
  • График функции y = f (| x |) получается из графика функции y=f (x) следующим образом: оставляют часть графика справа от оси ординат и отображают эту же часть симметрично ей самой относительно оси ординат.
  • График функцииy = A ∙ f (x ) получается из графика функции y=f (x) растяжением в А раз вдоль оси ординат. (Ордината каждой точки графика функции y=f (x) умножается на число А).
  • График функции y = f (k ∙ x ) получается из графика функции y=f (x) сжатием в k раз при k>1 или растяжением в k раз при 0
  • График функции y = f (x- m ) получается из графика функции y=f (x) параллельным переносом на m единичных отрезков вдоль оси абсцисс.
  • График функции y = f (x )+ n получается из графика функции y=f (x) параллельным переносом на n единичных отрезков вдоль оси ординат.

  Периодическая функция.

  • Функцию f называют периодической функцией с периодом Т≠0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках x , T- x и T + x равны, т. е. выполняется равенство: f (x )= f (T- x )= f (T + x )
  • Если функция f периодическая и имеет период Т, то функция y = A· f (k ∙ x + b ), гдеA , k и b постоянны, а k ≠0 , также периодична, причем, ее период равен T /| k |.

  

  Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

  

  • Функцию вида y=a x , где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией .
  • Область определения показательной функции: D (y)=R - множество всех действительных чисел .
  • Область значений показательной функции: E (y)=R + -множество всех положительных чисел .
  • Показательная функция y=a x возрастает при a>1 .
  • Показательная функция y=a x убывает при 0.

  Справедливы все свойства степенной функции :

  • а 0 =1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
  • а 1 =а Любое число в первой степени равно самому себе.
  • a x ∙a y =a x + y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
  • a x :a y =a x- y При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
  • (a x ) y =a xy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
  • (a∙b) x =a x ∙b y При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
  • (a/b) x =a x /b y При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
  • а -х =1/a x
  • (a/b) -x =(b/a) x .

  Логарифмом числа b по основанию а (log a b ) называют показатель степени, в которую нужно возвести число а , чтобы получить число b .

  log a b = n , если a n = b . Примеры: 1) log 2 8=3 , т. к. 2 3 =8;

  2) log 5 (1/25)=-2 , т. к. 5 -2 =1/5 2 =1/25; 3) log 7 1=0 , т. к. 7 0 =1.

  Под знаком логарифма могут быть только положительные числа , причем, основание логарифма — число а≠1 . Значением логарифма может быть любое число.

  

  Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n ), то, возводя в эту степень число а , получим число b .

  Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом и при написании опускают основание 10 и букву «о» в написании слова «log».

  lg 7 =log 10 7,lg 7 – десятичный логарифм числа 7.

  Логарифм по основанию е (Неперово число е≈2,7) называют натуральным логарифмом.

  ln7 =log e 7, ln 7 – натуральный логарифм числа 7.

  Свойства логарифмов справедливы для логарифмов по любому основанию.

  log a 1=0 Логарифм единицы равен нулю (a>0, a≠1).

  log a a =1 Логарифм числа а по основанию а равен единице (a>0, a≠1).

  log a (x∙y)=log a x+log a y

  Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

  log a (x / y )= log a x — log a y

  Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

  log a b=log c b/log c a

  Логарифм числа b по основанию а равен логарифму числа b по новому основанию с , деленному на логарифм старого основания а по новому основанию с .

  log a b k = k ∙ log a b Логарифм степени (b k ) равен произведению показателя степени (k ) на логарифм основания (b ) этой степени.

  log a n b =(1/ n )∙ log a b Логарифм числаb по основанию a n равен произведению дроби 1/ n на логарифм числа b по основанию a .

  log a n b k =(k / n )∙ log a b Формула является комбинацией двух предыдущих формул.

  log a r b r =log a b или log a b = log a r b r

  Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.

  • Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F"(x)=f (x).
  • Любая первообразная для функции f (x) на заданном промежутке может быть записана в виде F (x)+C, где F (x)– одна из первообразных для функции f (x), а С – произвольная постоянная.
  • Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f (x) dx, где f (x) – подынтегральная функция, f (x) dx — подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

  1) (∫f (x) dx)"=f (x); 2) d∫f (x) dx=f (x) dx; 3) ∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx;

  4) ∫dF (x) dx=F (x)+C или ∫F"(x) dx=F (x)+C;

  5) ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx;

  6) ∫f (kx+b) dx=(1/k)·F (kx+b)+C.

  Таблица интегралов.

  

  

  

  Объем тела вращения.

  

  Дорогие гости моего сайта, все основные формулы математики 7-11 вы можете получить (совершенно бесплатно), кликнув по ссылке.

  Всего там 431 формула и по алгебре и по геометрии. Полученный pdf файл советую распечатать в виде книжечки. Как это сделать - Успешной вам учебы, друзья!