Zgjidhja e pabarazive duke përdorur derivatin. Përdorimi i derivatit për zgjidhjen e ekuacioneve, vërtetimin dhe zgjidhjen e pabarazive. Material për aktivitete jashtëshkollore. Faktorizimi i një shprehjeje duke përdorur një derivat
Содержание статьи
1.3. Përdorimi i derivatit në zgjidhjen e ekuacioneve
Le të tregojmë se si, me ndihmën e derivatit, mund të zgjidhen problemet e ekzistencës së rrënjëve të ekuacionit, dhe në disa raste, kërkimi i tyre. Ashtu si më parë, rolin kryesor këtu do ta luajë studimi i funksionit për monotoninë, duke gjetur vlerat ekstreme të tij. Përveç kësaj, do të përdoren një sërë veçorish të funksioneve monotone dhe të vazhdueshme.
Vetia 1. Nëse funksioni f rritet ose zvogëlohet në një interval, atëherë në këtë interval ekuacioni f(x)=0 ka më së shumti një rrënjë.
Ky pohim rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i funksioneve rritëse dhe zvogëluese. Rrënja e ekuacionit f(x)=0 është e barabartë me abshisën e pikës së prerjes së grafikut të funksionit y=f(x) me boshtin x.
Vetia 2. Nëse një funksion f është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në një interval dhe merr vlera të shenjave të ndryshme në skajet e tij, atëherë midis a dhe b ka një pikë c në të cilën f(c)=0.
Problemi 1.12. zgjidhin ekuacionin
Vini re se cila është rrënja e ekuacionit. Le të vërtetojmë se ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera. Studiojmë funksionin f, ku 
, për monotoni. Derivat 
. Le të vendosim intervalet në të cilat funksioni ruan shenjën e tij. Për ta bërë këtë, ne e shqyrtojmë atë për monotoni. Derivat 
. Që për , atëherë për . Prandaj, funksioni po rritet për vlerat pozitive të x; . Prandaj, në. Meqenëse funksioni është i barabartë, ai merr vlera pozitive për të gjithë. Prandaj, f rritet në vijën e plotë numerike. Sipas vetive 1, ekuacioni ka më së shumti një rrënjë. Pra, është rrënja e vetme e ekuacionit.
Problemi 1.13. Zgjidh një sistem ekuacionesh 
Sistemi është i barabartë me sa vijon: 
Nga ekuacioni i parë rezulton se , nga i dyti - . Shprehim nga ekuacioni i parë x në terma y: , . Pastaj 
. duke vënë , marrim 
ose 
. Derivati i funksionit f, ku , është i barabartë me . është negative për të gjitha vlerat e t. Kështu, funksioni f është në rënie. Prandaj, ekuacioni ka më së shumti një rrënjë. Vini re se cila është rrënja e saj. Pra, zgjidhja e vetme e sistemit.
Problemi 1.14. Vërtetoni se ekuacioni ka një rrënjë unike që shtrihet në intervalin .
Ekuacioni reduktohet nga transformimet ekuivalente në formën , ku 
. Funksioni f është në rritje sepse 
me te gjitha. Sipas vetive 1, ekuacioni ka më së shumti një zgjidhje. Funksioni f është i vazhdueshëm, për më tepër, 
, . Për shkak të vetive 2, ekuacioni në interval ka një rrënjë.
Në problemin 3, kërkohej të vërtetohej se rrënja e ekuacionit i përket një intervali. Ne përdorëm vetinë 2 të një funksioni të vazhdueshëm në një segment që merr vlera të shenjave të ndryshme në skajet e këtij segmenti. Kjo rrugë nuk çon gjithmonë te qëllimi kur zgjidh probleme të tilla. Ndonjëherë është e përshtatshme që të përdoret vetia e mëposhtme e funksioneve të diferencueshme.
Vetia 3 (teorema e Roles). Nëse funksioni f është i vazhdueshëm në intervalin , i diferencueshëm në intervalin (a,b) dhe f(a)=f(b), atëherë ekziston një pikë e tillë që .
Në gjuhën gjeometrike, vetia 3 do të thotë si vijon: nëse , atëherë në grafikun e lakores është një pikë C me koordinata , ku tangjentja me grafikun është paralele me boshtin x.
Problemi 1.15. Vërtetoni se ekuacioni për , ka më së shumti një rrënjë reale.
Le të supozojmë se ekuacioni ka të paktën dy rrënjë dhe . Funksioni f, ku është i diferencueshëm në të gjithë vijën reale. Sepse 
, atëherë sipas vetive 3, derivati i tij në interval ka rrënjë. Megjithatë, për , ekuacioni nuk ka zgjidhje. Kontradikta e fituar tregon se ekuacioni nuk mund të ketë më shumë se një rrënjë.
Problemi 1.16. Vërtetoni se polinomi , ,
Ka më së shumti n rrënjë.
Sipas vetive 3, midis dy rrënjëve të një polinomi ndodhet të paktën një rrënjë e derivatit të tij. Prandaj, nëse polinomi f(x) ka , rrënjë të dallueshme, atëherë derivati i tij duhet të ketë të paktën (k-1) rrënjë. Në të njëjtën mënyrë - të paktën k-2 rrënjë, etj., derivati i n-të - të paktën (k-n) rrënjë, . Kjo është e pamundur sepse është një konstante jo zero.
Problemi 1.17. Vërtetoni se polinomi ka një rrënjë ndërmjet 0 dhe 1 ().
Zbatimi i pronës 2 në objektiv nuk rezulton, pasi . Konsideroni funksionin g, ku . Për të, funksioni f është një derivat. Që atëherë, sipas pronës 3, për disa 
.
Problemi 1.18. Vërtetoni se ekuacioni 
nuk ka rrënjë të vërteta.
Le te jete 
, pastaj 
. Nëse x është rrënja e ekuacionit, atëherë , d.m.th. funksioni f, për shkak të vazhdimësisë së tij, zvogëlohet në fqinjësi të secilës rrënjë. Vini re se nëse ekuacioni ka rrënjë, atëherë ato janë negative. Dihet se një polinom i shkallës së n-të nuk ka më shumë se n rrënjë. Shënoni me - më i madhi nga rrënjët. Pastaj ekziston e tillë që . Meqenëse , atëherë intervali duhet të përmbajë rrënjën x të polinomit f(x). mori një kontradiktë.
Konsideroni një ekuacion të formës , ku f, g janë reciprokisht të anasjellta, duke rritur funksionet që kanë të njëjtat fusha përkufizimi. Le të tregojmë se ky ekuacion është i barabartë me ekuacionin . (3)
Në të vërtetë, le të jetë a rrënja e ekuacionit (3), d.m.th. . Duke qenë se domeni i funksionit g përkon me bashkësinë e vlerave të funksionit f dhe anasjelltas, mund të shkruajmë: 
, ose , d.m.th. , dhe është rrënja e ekuacionit .
Anasjelltas, le , por . Pastaj ose. rasti i parë. E njëjta gjë vlen edhe për rastin e dytë.
Kështu, është marrë një metodë e veçantë e transformimit ekuivalent të ekuacioneve.
Problemi 1.19. Zgjidhe ekuacionin.
Le ta rishkruajmë këtë ekuacion në formë 
. Funksioni 
është e vazhdueshme, në rritje (si shuma e dy funksioneve në rritje dhe ), pra ka një të anasjelltë. Le ta gjejmë: 
, 
. Pra, anasjellta e f është funksioni 
, që përkon me anën e djathtë të ekuacionit. Bazuar në sa më sipër, ekuacioni është i barabartë me ekuacionin 
. Është e qartë se është rrënja e ekuacionit. Sigurohuni që ekuacioni të mos ketë rrënjë të tjera. 
Hipoteza e formuluar duhej të zgjidhte këto detyra: 1. Të identifikonte rolin e ekuacioneve trigonometrike dhe të pabarazive në mësimdhënien e matematikës; 2. Të zhvillojë një metodologji për formimin e aftësive për zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike, që synon zhvillimin e paraqitjeve trigonometrike; 3. Verifikoni në mënyrë eksperimentale efektivitetin e metodologjisë së zhvilluar. Për zgjidhje...
Pikat e boshtit të koordinatave. Mësimi numër 4. Tema: Metoda analitike. Metoda e degës. Qëllimi i orës së mësimit: njohja e studentëve me metodën bazë të zgjidhjes së ekuacioneve që përmbajnë një parametër. Leximi nga mësuesi: Shih , , , , Leximi i nxënësve: Shih përmbledhjen: Një vështrim në vlerat e ndryshme që mund të marrë një parametër. Thjeshtimi i ekuacionit dhe sjellja e ekuacionit në produkt...
Në algjebër dhe fillimet e analizës, në përgatitje për certifikimin përfundimtar shtetëror, vlerësimi i jashtëm i pavarur. Një numër mjaft i madh problemesh zbulojnë mundësitë e mundshme të analizimit të sasive pafundësisht të vogla. 1. Derivati dhe zbatimi i tij për zgjidhjen e problemave të aplikuara 1.1 Informacion historik Një sërë problemesh të llogaritjes diferenciale janë zgjidhur në antikitet. Ata u takuan në...
Teorema e mësipërme dëshmon për rëndësinë e vlerësimeve apriori për vërtetimin e ekzistencës dhe teoremave unike për zgjidhjet. Kapitulli 2. Shembulli i zbatimit 1. Konsideroni një ekuacion integral me një parametër të vogël real λ: (1) Ky është një ekuacion i formës А()х = у() – një ekuacion operatori në С[-π; π], ku Le të tregojmë se A() është analitike në pikën 0, d.m.th. zbërthehet në një sërë speciesh. Le të zbërthejmë funksionin...
Madhësia: px
Filloni përshtypjen nga faqja:
transkript
1 1 Përdorimi i derivatit për zgjidhjen e ekuacioneve, vërtetimin dhe zgjidhjen e pabarazive Materiali për klasat me zgjedhje Piryutko ON - Profesor i asociuar i Departamentit të Matematikës dhe Metodave të Mësimdhënies së Matematikës të BSPU, Kovgorenya LV - Student Master i Departamentit të Matematikës dhe Metodave të Mësimdhënies Matematika e Universitetit Pedagogjik Shtetëror Bjellorusi Tradicionalisht, në tekstet shkollore, përdorimi i derivatit i referohet kuptimit të tij fizik dhe gjeometrik, kërkimit dhe grafikut të funksioneve, zgjidhjes së problemeve të optimizimit. Artikulli ofron materiale mbi përdorimin e derivatit për të zgjidhur ekuacionet, pabarazitë. , vërtetimi i pabarazive që mund të përdoren në klasat me zgjedhje, këshillohet që së bashku me tekstet ekzistuese të përdoren tekste shkollore për klasat me studim të thelluar të matematikës Përdorimi i derivatit për zgjidhjen e ekuacioneve (ora 1) Qëllimet arsimore: të formohen aftësitë. zgjidhja e ekuacioneve f(x)=0 duke shqyrtuar funksionin f(x) duke përdorur derivatin; për të formuar aftësitë e vërtetimit të ekzistencës së një rrënjë, unike të rrënjës së një ekuacioni të caktuar me ndihmën e një derivati Objektivat zhvillimore: të zhvillojnë aftësinë për të aplikuar metoda të përgjithësimit dhe konkretizimit gjatë aplikimit të algoritmeve për zgjidhjen e ekuacioneve; të mësojë përdorimin e analogjisë, krahasimit, krahasimit, klasifikimit, kur zgjedh një ose një metodë tjetër për zgjidhjen e ekuacioneve Qëllimet arsimore: të kultivojnë saktësinë, qartësinë dhe qëndrueshmërinë në zgjidhjen e problemeve; për të formuar aftësinë për të planifikuar veprimtarinë e vet edukative dhe njohëse Përsëritja e dispozitave kryesore teorike Përcaktimi i rritjes (zvogëlimit) të një funksioni në një interval të caktuar Funksioni rritet (zvogëlohet) në një interval të caktuar, nëse për
2 2 çdo pikë dhe nga intervali që plotëson kushtin pabarazia është e vërtetë, domethënë, Rritja Zvogëluese Funksionet që rriten ose zvogëlohen në I quhen monotonike në I Kriter i mjaftueshëm për rritjen e funksionit Nëse > 0 në secilën pikë të intervalit I, atëherë funksioni rritet me I Kriter i mjaftueshëm për funksion zvogëlues Nëse
3 3 duket e mundur ose çon në transformime të rënda Nëse është e mundur të vërtetohet se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera përveç atyre të gjetura, atëherë problemi zgjidhet. , duke analizuar "i përshtatshëm" për llogaritjen e rrënjës së vlerës së ndryshores x, që rrënja e këtij ekuacioni Le të vërtetojmë se kjo rrënjë është unike, duke përdorur vetitë e monotonitetit të funksionit 1 Le ta shkruajmë këtë ekuacion në formën: 2 Le; 3; 4, mbi të gjithë domenin e përkufizimit 5 Meqenëse funksioni rritet me, ekuacioni nuk ka më shumë se një rrënjë Prandaj, rrënja e zgjedhur është rrënja e vetme e këtij ekuacioni Përgjigje: Le të formulojmë algoritme për zgjidhjen e problemeve të këtij lloji Algoritmi (I ) për zgjidhjen e ekuacioneve duke përdorur një derivat: »për të llogaritur vlerën e një ndryshoreje, rrënja e ekuacionit 2Silleni ekuacionin në formë; 3 Gjeni domenin e funksionit 4 Hulumtoni funksionin për monotoni në ose intervale që i përkasin; 5 Nëse funksioni rritet (zvogëlohet) në intervalin në shqyrtim, atëherë nxirrni një përfundim në lidhje me veçantinë e rrënjës së gjetur të ekuacionit në këtë interval Algoritmi (II) për përcaktimin e numrit të rrënjëve të ekuacionit: 1 Sillni ekuacionin në formë; 2 Gjeni shtrirjen e funksionit;
4 4 3 Hulumtoni funksionin për monotoni në ose intervale që i përkasin 4 Nëse është e mundur, kontrolloni shenjat e vlerave të funksionit në skajet e segmentit nga D(f); 5 Përfundoni: o nëse brenda intervalit (), atëherë ka më së shumti një vlerë të tillë që; o nëse në interval (dhe atëherë ka një vlerë unike të tillë që Zgjidhi ekuacionet e mëposhtme duke përdorur algoritmin 2 Zgjidh ekuacionin 1 Përcakto që rrënja e këtij ekuacioni është 2 Ky ekuacion do të reduktohet në formën: 3 ; =0 4 në e gjithë domeni i përkufizimit (Vini re se) 5 Meqenëse funksioni rritet me, atëherë rrënja e gjetur e ekuacionit është e vetmja përgjigje: 3 Zgjidheni ekuacionin 1 Përcaktojmë se rrënja e këtij ekuacioni është 2 Ky ekuacion do të reduktohet në formën : =0; 3
5 5 Vini re se funksioni është çift, prandaj është edhe rrënja e këtij ekuacioni, prandaj mjafton të vërtetohet se funksioni është monoton në gjysmëintervalin; 4 në; 5 Meqenëse funksioni zvogëlohet në gjysmëinterval, ekuacioni, për shkak të njëtrajtshmërisë së funksionit, nuk ka rrënjë të tjera përveç, Përgjigja: 4 Zgjidh ekuacionin 1 Vini re se rrënjët e këtij ekuacioni janë vlerat 2 Ky ekuacion do reduktohet në formën: Meqenëse funksioni është çift, mjafton të vërtetohet se është monoton në gjysmëintervalin; 4 në një gjysmë interval; 5 Meqenëse funksioni rritet në gjysmëintervalin, ekuacioni, për shkak të paritetit, nuk ka rrënjë të tjera përveç nga Përgjigja: 5 Vërtetoni se ekuacioni ka një rrënjë të vetme Le të përdorim Algoritmin II për vërtetim ; Vini re se,
6 6 3, 4Meqenëse derivati zhduket në një pikë të vetme, nga 5, atëherë për x kemi rritje Prandaj, ekuacioni ka një rrënjë të vetme, mund të shihni se kjo rrënjë është 6 Zgjidhe ekuacionin 1 është rrënja e kësaj ekuacioni; 2; 3 D 4 Në 5 Meqenëse funksioni rritet në një gjysmë interval, ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera përveç x=1 Përgjigje: 7 Zgjidheni ekuacionin 1 Përcaktojmë se rrënja e këtij ekuacioni është 2; 3D; 4 Funksioni është çift*, prandaj është edhe rrënjë Vini re se x=0 nuk është rrënjë e këtij ekuacioni Le të tregojmë se funksioni është monoton në intervalin në intervalin , nuk ka tjetër
7 7 *Vërtetimi i barazisë: 1) në raport me zero 2) Fusha e funksionit është simetrik 8 Zgjidhe ekuacionin Mund të shihet se rrënja e këtij ekuacioni është 1 Let; 2 Funksioni është çift dhe periodik me periodën kryesore Prandaj, zgjidhjet e ekuacionit do të jenë gjithashtu, Do të tregojmë se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera Kështu, mjafton të sigurohemi që funksioni të jetë monoton, p.sh. intervali 3 si, atëherë Pra funksioni është duke u rritur në intervalin e specifikuar 4 Prandaj vijon, se rrënjët e ekuacionit do të jenë vetëm, Përgjigje:, 9 Zgjidheni ekuacionin Përcaktojmë se rrënja e këtij ekuacioni është vlera e ndryshorja 1 Lë; 2 Vini re se funksioni është çift dhe periodik me një periodë kryesore. Prandaj, zgjidhjet e ekuacionit do të jenë gjithashtu, Le të tregojmë se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera
8 8 Mjafton të sigurohemi që funksioni në intervalin 3 të jetë monoton në intervalin e caktuar, funksioni po rritet 4 Nga kjo rrjedh se rrënjët e ekuacionit do të jenë, Përgjigje:, Duhet të theksohet se detyrat e propozuara mund të të zgjidhet pa përdorur derivatin Këshillohet të shqyrtohen dhe diskutohen me nxënësit metoda të tjera të zgjidhjeve të tyre Le të japim zgjidhje të shkurtra të disa ekuacioneve duke përdorur qasje të tjera 1 Vini re se për x>0, funksioni y= x 2 +9 rritet, zvogëlohet. , rritet, rritet Prandaj, vlera e kësaj të fundit, e barabartë me 24, merret maksimumi për një vlerë të argumentit Prandaj, vlera e zgjedhur x=4 është e vetmja zgjidhje e këtij ekuacioni rrënja e këtij ekuacioni është 3 Le të bëjmë zëvendësimi:, atëherë zgjidhja e ekuacionit reduktohet në zgjidhjen e sistemit (t + k \u003d 4, k 4 + t 4 =82 Ekuacionin e dytë e sjellim në formë: Nga ky barazim gjejmë tk=3 ose tk=29 Zgjidhja e sistemeve (t+k=4, kt=3; (t+k=4, kt=29, marrim t=1, k=3 ose t=3, k=1 Duke zëvendësuar në (1), marrim x=
9 9 4 Duke vërejtur se me secilën rrënjë x 0 numri - x 0 është gjithashtu rrënja e ekuacionit, e zgjidhim për x>0 Duke hapur kllapat dhe duke faktorizuar anën e majtë të ekuacionit në faktorë, marrim: prandaj, kjo ekuacioni është në interval. Konsideroni detyrat e mëposhtme: 1Vërtetoni se për vërtetim Konsideroni funksionin në interval; Le ta shqyrtojmë atë për monotoni, nga ku rrjedh se funksioni është në rënie për dhe
11 11 Shënojmë me kufirin e majtë të segmentit: Pastaj, për shkak të funksionit zvogëlues në segment, me përcaktimin e një funksioni zbritës për të gjitha x nga ky segment, marrim ose 2 hetim të funksionit për monotoni për x: ; gjeni derivatin e funksionit; Shembulli 1 tregon se, pra, kur funksioni është i vazhdueshëm dhe derivati i funksionit është i barabartë me zero në një pikë të këtij segmenti, prandaj, funksioni rritet në segmentin në shqyrtim. Shënoni me kufirin e majtë të segmentit: , që pabarazia vlen për vërtetimin 1 Le të 2 ; 3, në Pra, pika minimale, është edhe pika e vlerës më të vogël të funksionit në 4 Gjeni vlerën e funksionit në pikën: 5 Prandaj, për, pra, Bazuar në zgjidhjen e problemeve të shqyrtuara, ne mund të hartoni një algoritëm (iii) për vërtetimin e pabarazive duke përdorur derivatin: 1 Sillni pabarazinë në formën ;
12 12 2 Gjeni shtrirjen e funksionit; 3 Hulumtoni funksionin për monotoninë dhe ekstremet në ose intervalin që i përket 4 Paraqisni 0 (në anën e djathtë të pabarazisë) si (); 5 Nga pabarazia për të përfunduar: nëse funksioni rritet, atëherë; nëse funksioni është në rënie, atëherë; Sipas këtij algoritmi, ne do të kryejmë këto detyra: 4 Vërtetoni pabarazinë për Vërtetim 1 Let; 2 3, ; 4 Le të 5 dhe me përkufizimin e funksionit në rritje kemi, ato të vërtetuara 5 Provojnë se për Vërtetim 1 Le; 2 3 kur kemi; 4 Le 5, do të kemi vërtetuar, 6 Përcaktoni të gjitha vlerat për të cilat 1 Le; 2
13 13 3, 4 Në, në Prandaj, pika maksimale e funksionit; Meqenëse f(1)=0, atëherë f(x)0, x 1(1) kjo pabarazi është ekuivalente me pabarazinë Zgjidheni duke e zëvendësuar këtë shprehje me një shenjë që përkon me të Zgjidhja e pabarazive dhe, duke marrë parasysh (1) dhe kushtet, marrim domenin e funksionit y = x të ky sistem x (duke marrë parasysh domenin e përkufizimit, marrim përgjigjen: zgjidhja e kësaj pabarazie x Përgjigje: x
14 14 8 A është e vërtetë pabarazia? 1 Le ta rishkruajmë këtë pabarazi në formën:, 2 Konsideroni funksionin f(x) = x + cox Duke e hetuar atë për monotoninë (, marrim se funksioni rritet për x 3 Le të, atëherë Pabarazia doli e vërtetë 8 Është pabarazia e vërtetë? 1 Kryeni disa transformime, 2 Le të , 3 pasi, këshillohet që të merret parasysh funksioni në intervalin 4, kur kemi; kur kemi; pra, pika është pika maksimale, dhe meqë kjo pikë është vetëm pika ekstreme në interval, është edhe pika në të cilën funksioni merr vlerën më të madhe 5: për 6Kështu, ato Prandaj, pabarazia është e vërtetë Bazuar në ushtrimet e mësipërme, ne formulojmë një algoritëm (iv) për vërtetimin e pabarazive numerike duke përdorur derivati çfarë?provë
15 15 Shndërroni pabarazinë në formën:, 1 Konsideroni funksionin 2 Lëreni pasi, pastaj shqyrtoni funksionin në intervalin 3, 4, Në intervalin e dhënë Përdorni përkufizimin e rritjes së funksionit në intervalin e dhënë: Ngjashëm me i mëparshmi, marrim:, Shumëzojmë pabarazitë që rezultojnë: Vërteto 10Vërteto se: a ) > ; b)? a) 1 Marrim logaritmin e kësaj mosbarazimi: Pabarazinë e fundit e paraqesim në formën, ku, ; 2Gjeni derivatin e funksionit:)Prandaj, në, në 3Let, Aplikoni përkufizimin e rritjes së funksionit në intervalin e dhënë, marrim: b) 1Le të marrim logaritmin e kësaj mosbarazimi: ;
16 16, 2 Të paraqesim pabarazinë në formën, ku, 3 Gjeni derivatin e funksionit: Prandaj, në, në 4 Let, Përdorni përkufizimin e funksionit duke u zvogëluar në intervalin e dhënë:, 11 Çfarë është më shumë:? 1 Supozojmë se, në formën, ku, 2 Le të gjejmë derivatin e funksionit Le të paraqesim pabarazinë e fundit në:, pra, në, në Pasi në x = e, atëherë funksioni zvogëlohet për x 3 : 12 Çfarë ka më shumë? 1 Supozoni se 2, ku, ; Shembulli 10b) tregon se kur
17 17, pra, funksioni zvogëlohet për 3 Le, Në një interval të caktuar, zvogëlohet, ne përdorim përkufizimin e një funksioni që zvogëlohet në një interval të caktuar:, Supozimi doli i gabuar Përgjigje: Këshillohet që të shqyrtohen mënyra të tjera të vërtetimi dhe zgjidhja e pabarazive Për shembull, për të vërtetuar pabarazinë 1, përdorni konveksitetin dhe konkavitetin e funksionit dhe tangjenten me grafikun e funksionit në pikën (0;0) Për të vërtetuar pabarazinë 2, mund të përdorni grafikët e funksioneve në anët e majta dhe të djathta të mosbarazimit dhe vetitë e tyre Për të vërtetuar mosbarazimin 3, mund të përdorni vetinë e numrave reciprokë: 12, mund të përdorni teknikën e krahasimit të secilës shprehje me një numër të ndërmjetëm. Mund të tregoni se, dhe Në të vërtetë, >, (> Nga rrjedh se Detyrat për punë të pavarur: 1? 2 Çfarë është më shumë se 2tg1 èëè tg2? 3 Vërtetoni se kur çfarë nëse 5 Çfarë është më shumë: 6 Çfarë është më shumë:? 7 Zgjidh inekuacionin Literatura 1Vilenkin, N Ya Ivashev MusatovOSIDR "Algjebra e fillimit të analizës"10 (studim i thelluar i matematikës) / IYA Vilenkin, - M: Arsimi 2000 2Kolmogorov, Akademia e Shkencave, Abramov AM, - dhe të tjerët "Algjebra e fillimit i analizës" (libër mësuesi për klasat e shkollës së mesme) / Akademia e Shkencave Kolmogorov M: Iluminizmi, Piryutko, MBI Formimin e metodave të përgjithësuara të njohjes
18 18 aktivitete / Piryutko ON// Narodnaya asveta -9, 2008С 32-40
19 19
Departamenti i Matematikës dhe Informatikës Analiza Matematikore Kompleksi arsimor dhe metodologjik për studentët e HPE që studiojnë me përdorimin e teknologjive në distancë Moduli 4 Aplikimet e derivatit Përpiluar nga: Profesor i Asociuar
Departamenti i Matematikës dhe Informatikës Elementet e Matematikës së Lartë Kompleksi edukativo-metodologjik për studentët e arsimit të mesëm profesional që studiojnë duke përdorur teknologjitë në distancë Moduli Llogaritja diferenciale Përpiluar nga:
Tema 39. "Derivatet e funksioneve" Funksioni i derivatit te nje funksioni ne piken x 0 quhet kufiri i raportit te rritjes se funksionit me rritjen e ndryshores, pra = lim = lim + ( ) Tabela e derivateve: Derivat
Funksioni Eksplorimi i funksioneve dhe vizatimi. Hetimi për monotoninë në një interval. f në intervalin b nuk zvogëlohet nëse f f ; nuk rritet nëse f f ; a është në mënyrë monotonike rreptësisht në rritje nëse f f
Leksioni 9. Derivatet dhe diferencialet e rendit te larte, vetite e tyre. Pikat ekstreme të funksionit. Teorema e Fermat-it dhe Rolle-s. Le të jetë funksioni y i diferencueshëm në një segment [b]. Në këtë rast, derivati i tij
Vizatimi i funksioneve duke përdorur derivatin Metoda e paraqitjes së grafikut të funksionit sipas pikave nuk është e përsosur. Edhe llogaritja e ordinatave të një numri të madh pikash mund të mos japë një paraqitje të saktë të grafikut, por,
1 SA Lavrenchenko Leksion 10 Hetimi i një funksioni duke përdorur derivatet 1 Hetimi i një funksioni duke përdorur derivatin e parë Me një interval nënkuptojmë ose një interval të fundëm, ose një nga sa vijon
Shembull i problemeve dhe pyetjeve themelore të MA për kufirin e sekuencës semestrale Simple Llogarit kufirin e sekuencës l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Llogarit kufirin e sekuencës
MODULI 7 “Funksionet eksponenciale dhe logaritmike”. Përgjithësim i konceptit të gradës. Rrënja e shkallës dhe vetitë e saj.. Ekuacionet irracionale.. Shkalla me eksponent racional.. Funksioni eksponencial..
ekuacionet eksponenciale. Metodat e zgjidhjes. Dubova Maria Igorevna 7 78-57 Një ekuacion eksponencial është një ekuacion që përmban një ndryshore vetëm në eksponent. Konsideroni disa lloje ekuacionesh eksponenciale,
Ligjërata Hetimi i një funksioni dhe ndërtimi i grafikut të tij Abstrakt: Funksioni është hetuar për monotoninë, ekstremin, konveksitet-konkavitetin, për ekzistencën e asimptotave.
Zbatimi i njehsimit diferencial në studimin e një funksioni Monotonia e një funksioni Ekstremumi lokal Konveksiteti Monotonia e një funksioni Def. Funksioni f x rritet në intervalin (a, b) nëse x 1, x 2 a,
Rregullat e derivatit dhe të diferencimit Le të rritet funksioni y = f y f 0 f 0 që korrespondon me rritjen e argumentit 0 Përkufizim Nëse ka një kufi në raportin e rritjes së funksionit y me thirrësin
UNIVERSITETI TEKNIK SHTETËROR I AVIACIONIT CIVIL TË MOSKËS V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov
Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Federatës Ruse
Hetimi i funksioneve me ndihmën e një derivati. Funksionet rritëse dhe pakësuese. Teorema.) Nëse një funksion f) ka një derivat në një interval dhe është në rritje në këtë interval, atëherë derivati i tij në këtë interval
Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Federatës Ruse Institucion arsimor autonom i arsimit të lartë profesional Kombëtar
Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Federatës Ruse UNIVERSITETI SHTETËROR KËRKIMOR KOMBËTAR SARATOV
Ndërtimi i grafikëve të funksioneve 1. Plani për studimin e një funksioni gjatë vizatimit të grafikut 1. Gjeni domenin e funksionit. Shpesh është e dobishme të merren parasysh vlera të shumta të një funksioni. Eksploroni vetitë e veçanta të një funksioni:
Leksioni 23 KOVEKS DHE KONKAVE TË GRAFIT TË FUNKSIONIT TË PIKËS SË BJESË Grafiku i funksionit y \u003d f (x) quhet konveks në intervalin (a; b) nëse ndodhet nën ndonjë nga tangjentet e tij në këtë interval. Grafiku
UDHËZIME METODOLOGJIKE PËR DETYRA LLOGARIMORE NË LËNDËN E MATEMATIKËS SË LARTË "EKUACIONET E ZAKONSHME DIFERENCIALE SERI INTEGRALET DYFISHTE" PJESA III SERI TEMATIVE Përmbajtja Seritë Seritë numerike Konvergjenca dhe diferenca
Qasje të ndryshme për zgjidhjen e problemeve C C C5 Provimi i Unifikuar Shtetëror 9-vjeçar Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit (material për një leksion për mësuesit) Prokofiev AA [email i mbrojtur] Detyrat C Shembull (Përdor C) Zgjidh sistemin e ekuacioneve y si (si) (7 y)
Punë praktike Studimi i plotë i funksionit dhe vizatimi i një grafiku Qëllimi: të konsolidojë aftësitë e kërkimit të funksioneve dhe vizatimit Pajisje (pajisje, materiale, mbështetje didaktike): metodologjike
Seksioni Llogaritja diferenciale e funksioneve të një dhe disa ndryshoreve Funksioni i argumentit real Numrat realë Numrat e plotë pozitivë quhen numra natyrorë Shtoni numrat natyrorë
Punë praktike 6 Tema: “Studim i plotë i funksioneve. Ndërtimi i grafikëve ”Qëllimi i punës: të mësoni se si të eksploroni funksionet sipas një skeme të përgjithshme dhe të ndërtoni grafikë. Si rezultat i punës, studenti duhet:
Kërkesat për nivelin e përgatitjes së nxënësve në algjebër dhe fillimet e analizës matematikore në klasat 0. Si rezultat i studimit të matematikës në një nivel të thelluar, rëndësia e shkencës matematikore për zgjidhjen e problemeve,
S. Shestakov, [email i mbrojtur], Moskë 9 klasa. Shihni fillimin në, / 05 Zgjidhja e pabarazive
Kapitulli 3. Hetimi i funksioneve me ndihmën e derivateve 3.1. Ekstremimet dhe monotonia Konsideroni një funksion y = f () të përcaktuar në një interval I R. Thuhet se ai ka një maksimum lokal në pikën
KËRKIMI I FUNKSIONIVE Kushtet e mjaftueshme për rritjen dhe uljen e një funksioni: Nëse derivati i një funksioni të diferencueshëm është pozitiv brenda një intervali X, atëherë ai rritet në këtë interval nëse
0.5 Ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë. Librat e përdorur:. Algjebra dhe fillimi i analizës 0 - redaktuar nga A.N. Kolmogorov. Punime të pavarura dhe kontrolluese në algjebër 0- redaktuar nga E.P. Ershov
Kufijtë dhe vazhdimësia. Kufiri i një funksioni Le të përcaktohet funksioni = f) në një fqinjësi të pikës = a. Në të njëjtën kohë, në pikën a, funksioni nuk është domosdoshmërisht i përcaktuar. Përkufizimi. Numri b quhet kufi
~ 1 ~ "Kriteret e monotonitetit për një funksion" x)
REZULTATET E TË NXËNIT TË LËNDËS PROGRAMI I PUNËS në lëndën Algjebër 1Rezultatet e planifikuara të përvetësimit të lëndës akademike KËRKESAT PËR NIVELIN E PËRGATITJES SË STUDENTËVE
VA Shilinets, Profesor i Asociuar, Departamenti i Matematikës, Universiteti Shtetëror Pedagogjik Bjellorus EKUACIONET DHE PABARAZITË ME ARKFUNKSIONET Matematika mësohet në procesin e zgjidhjes së problemeve, ndër të cilat një rol të veçantë luajnë problemet e kërkimit.
Moduli dhe derivati V.V. Silvestrov Kur zgjidhen disa probleme, duhet gjetur derivati i një funksioni që përmban një ose më shumë module. Detyra të tilla janë të mundshme edhe në provimin e unifikuar të shtetit.
Ministria e Arsimit e Republikës së Bjellorusisë INSTITUCIONI ARSIMOR "UNIVERSITETI SHTETËROR GRODNO ME EMËRIN E YANKA KUPALA" Yu.Yu. Gnezdovsky, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich EKSPONENCIALE DHE LOGARITMIKE
Sergei A Belyaev faqe 1 Minimumi matematikor Pjesa 1 Teorik 1 A është i saktë përkufizimi Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrave të plotë është numri më i vogël që pjesëtohet me secilin nga numrat e dhënë
Grafiku i derivatit të një funksioni Intervalet e monotonitetit të një funksioni Shembulli 1. Figura tregon grafikun y =f (x) të derivatit të funksionit f (x) të përcaktuar në intervalin (1;13). Gjeni intervalet e funksionit të rritjes
Profesioni. Shkalla me eksponent real arbitrar, vetitë e tij. Funksioni i fuqisë, vetitë e tij, grafika .. Kujtoni vetitë e një shkalle me një eksponent racional. a a a a a për kohët natyrore
I V Yakovlev Materiale për matematikën MathUsru Ekuacionet dhe pabarazitë logaritmike Ekuacionet dhe pabarazitë logaritmike janë ekuacione dhe pabarazi në të cilat ndryshorja është nën shenjën
MODULI “Zbatimi i vazhdimësisë dhe derivatit. Zbatimi i derivatit në studimin e funksioneve. Zbatimi i vazhdimësisë.. Metoda e intervaleve.. Tangjentja e grafikut. Formula e Lagranzhit. 4. Zbatimi i derivatit
Mësimi 7 Teorema të vlerës mesatare. Rregulli i L'Hôpital 7. Teoremat e vlerës mesatare Teoremat e vlerës mesatare janë tre teorema: Rolle, Lagranzh dhe Cauchy, secila prej të cilave përgjithëson të mëparshmen. Këto teorema quhen gjithashtu
Punë praktike "Zbatimi i derivatit në studimin e funksioneve" Qëllimi: për të konsoliduar dhe testuar ZUN në studimin e funksioneve duke përdorur derivatin Pajisje: shkrimi, metodologjike
IV Yakovlev Materiale në matematikë MathUs.ru Simetria në problemet me parametrat Simetria është një nga konceptet kryesore të matematikës dhe fizikës. Jeni të njohur me simetrinë gjeometrike të figurave dhe në përgjithësi të ndryshme
Shënim shpjegues Ky program pune "Algjebra dhe fillimet e analizës" u zhvillua në bazë të: - Ligjit Federal Nr. 273-FZ, datë 29 dhjetor 2012 (i ndryshuar më 13 korrik 2015) "Për arsimin në Federatën Ruse" ;
Ministria e Arsimit e Federatës Ruse Universiteti Shtetëror Rus i Naftës dhe Gazit me emrin I.M. Gubkina V.I. Ivanov S.I. Udhëzime Vasin për studimin e temës KËRKIM I FUNKSIONET (për
Kufiri 3 Diferencimi i funksioneve 3 Derivati i një funksioni Derivati i një funksioni f në një pikë quhet kufiri i mëposhtëm f f df f "d, ku f " dhe df d janë simbole të derivatit Operacioni i gjetjes së derivatit
Institucioni arsimor buxhetor komunal shkolla e mesme 4 në Baltiysk
Punë kërkimore Matematika "Zbatimi i vetive ekstreme të një funksioni për zgjidhjen e ekuacioneve" Përfundoi: Elena Gudkova, nxënëse e klasës 11 "G" MBOU shkolla e mesme "Anninsky Lyceum" f.g.t. Kreu i Anës:
1. Formuloni dhe vërtetoni një teoremë mbi veçantinë e kufirit të një sekuence konvergjente. Teorema (mbi veçantinë e kufirit). Një sekuencë mund të ketë më së shumti një kufi. Dëshmi. Le te jete
PLANIFIKIMI TEMATIK KALENDAR Algjebra dhe fillimi i analizës matematikore klasa p / p p / t Tema e mësimit Numri i orëve Përsëritje hyrëse 2 Rrënjët, shkallët, logaritmet 2 2 Funksionet trigonometrike, trigonometrike
(intervalet e rritjes dhe zvogëlimit monotonik të një funksioni - konveksiteti i një funksioni në interval - pikat e lakimit - asimptotat - vizatimi i grafikut të funksionit) Intervalet e rritjes dhe uljes monotonike të një funksioni.
Ministria e Arsimit e Federatës Ruse Universiteti Shtetëror Rus i Naftës dhe Gazit me emrin I.M. Gubkina V.I. Ivanov S.I. Udhëzime Vasin për studimin e temës "HULUMTIMI I FUNKSIONET"
Paraqitni funksionin y Domeni i funksionit është intervali (;0) (0;) Funksioni y është çift, pasi y() y(), dhe () grafiku i funksionit është simetrik rreth boshtit OY 3 Merrni parasysh sjelljen
KONCEPTI I FUNKSIONIT DERIVATIV Le të kemi një funksion të përcaktuar në një bashkësi X dhe le të jetë një pikë X një pikë e brendshme, pika për të cilën ka një fqinjësi me X. Merrni çdo pikë dhe shënoni atë me quhet
98 MATEMATIKA: ALGEBRA DHE FILLIMET E GJEOMETRISË ANALIZUESE Zgjidhje ekuacionesh të bazuara në vetitë e një funksioni konveks Lipatov SV Kaluga MBOU "Liceu 9 me emrin KE Tsiolkovsky" 0 Klasa "A" Mbikëqyrës:
Derivati P0 Konsideroni një funksion f () në varësi të argumentit Le të përcaktohet ky funksion në pikën 0 dhe disa nga fqinjësia e tij, i vazhdueshëm në këtë pikë dhe në fqinjësinë e tij.
LEKTORË MBI ANALIZËN MATEMATIKE PËR STUDENTËT E MOIAIS SEMESTRI I I-rë CITIZENSEV E.Yu. Kapitulli 1 Studimi i funksionit të një ndryshoreje 1.1 Shenjat e rritjes dhe zvogëlimit. Përkufizimi. Funksioni f(x) i përcaktuar
Djema, në mësimin e fundit mësuam një numër të ri, të veçantë e. Sot do të vazhdojmë të punojmë me këtë numër. Ne kemi studiuar logaritmet dhe dimë se baza e logaritmit mund të jetë një grup numrash
Hetimi i funksioneve dhe ndërtimi i grafikëve Materiali teorik Përmbajtja 1) Fusha e funksionit 2) Vetitë e funksionit (çift, tek, periodiciteti) 4) Pikat e prerjes së funksionit me boshtet
BBK 22.161 NJË QASJE E RE NË METODËN E HETIMIT TË FUNKSIONIVE PËR ZKALIM DHE RRITJE A.D. Novikov Instituti Shtetëror Pedagogjik Armavir, Armavir Fjalët dhe frazat kyçe: rritje
Llogaritja diferenciale Konceptet dhe formulat themelore Përkufizimi 1 Derivati i një funksioni në një pikë quhet kufiri i raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit, me kusht që rritja e argumentit.
Agjencia Federale e Arsimit Universiteti Shtetëror i Gjeodezisë dhe Hartografisë në Moskë (MIIGAiK) UDHËZIME METODOLOGJIKE DHE DETYRA PËR PUNË TË PAVARUR në lëndën MATEMATIKA E LARTË
PROGRAMI I PUNËS SË ALGJEBRËS DHE FILLIMI I ANALIZËS MATEMATIKE KLASA 11 Niveli bazë Mësimi i matematikës në shkollën fillore në vitin akademik 2018/2019 përcaktohet nga këto dokumente rregullatore: -
Ekuacionet algjebrike ku Përkufizimi. Algjebrike është një ekuacion i formës 0, P () 0, disa numra realë. 0 0 Në këtë rast, ndryshorja quhet e panjohur dhe numrat 0 quhen
Departamenti i Matematikës dhe Informatikës Elementet e Matematikës së Lartë Kompleksi arsimor dhe metodologjik për studentët e arsimit të mesëm profesional që studiojnë duke përdorur teknologjitë në distancë Moduli Teoria e Kufijve Përpiluar nga: Profesor i Asociuar
Leksionet 7-9 Kapitulli 7 Hetimi i një funksioni 7 Rritja dhe zvogëlimi i një teoreme funksioni mbi monotonitetin e një funksioni Nëse f (në intervalin (a; b, atëherë në këtë interval funksioni f (rritet) Nëse f (në intervalin
ZBATIMI I DERIVATIT NË STUDIMIN E FUNKSIONIVE Studimi i sjelljes së një funksioni me ndihmën e derivateve Intervalet e monotonitetit. Përkufizimi i ekstremeve. Intervalet në të cilat funksioni f (x) rritet (zvogëlohet),
Wwwfmclassru METODAT E KRAHASIMIT TË NUMRIVE Analiza e sasive, përdorimi i formulave cos0 dhe si 40
Provat e identitetit ndonjëherë mund të arrihen duke përdorur një vërejtje të qartë:
Nëse në një interval një funksion është identikisht i barabartë me një konstante, atëherë derivati i tij në këtë interval është vazhdimisht i barabartë me zero:
në 
në 
.
Një detyrë 1. Kontrollo identitetin:
Ne llogarisim derivatin e tij (nga X):
Prandaj (shënim) 
. Rrjedhimisht, 
që është ekuivalente me identitetin (1).
Një detyrë 2. Kontrollo identitetin:
(2)
Vërtetim: Merrni parasysh funksionin
Le ta vërtetojmë këtë 
Le të gjejmë derivatin e tij:
Do të thotë 
.
Në x=0
Prandaj, identiteti (2) është i vërtetë.
Në lidhje me shembujt e konsideruar, mund të vërehet se gjatë gjetjes së konstantës, integrimi NGAështë e dobishme të rregullohen vlerat e ndryshores në lidhje me të cilën bëhet diferencimi në mënyrë të tillë që të merren llogaritjet më të thjeshta të mundshme.
9.3. Zbatimi i derivatit për të thjeshtuar shprehjet algjebrike dhe trigonometrike.
Metoda e përdorimit të derivatit për të transformuar shprehjet algjebrike dhe trigonometrike bazohet në faktin se derivati ndonjëherë ka një formë shumë më të thjeshtë se funksioni origjinal, për shkak të të cilit integrohet lehtësisht, gjë që ju lejon të gjeni transformimin e dëshiruar të origjinalit. shprehje:
Detyra 1 Thjeshtoni shprehjen:
Zgjidhja: Duke treguar këtë shprehje 
do të ketë:
Kështu, shprehja e dhënë (1) është e barabartë me 
.
Detyra 2. Thjeshtoni shprehjen:
Zgjidhja: Duke treguar këtë shprehje përmes 
, do të ketë:
dhe në 
marrim:
Kështu që
Një detyrë 3. Thjeshtoni shkrimin e funksionit:
Zgjidhja: Përdorimi i aparatit të zakonshëm të trigonometrisë do të çojë në llogaritje relativisht të rënda. Këtu është më i përshtatshëm të përdoret derivati:
Nga këtu 
Le të gjejmë 
:
Kështu, funksioni (2) është i barabartë me 
Një detyrë 4. Thjeshtoni shkrimin e polinomit:
Zgjidhje: Shënoni polinomin (3) deri 
dhe gjeni me radhë derivatet e parë dhe të dytë të këtij funksioni:
Është e qartë se 
Kjo është arsyeja pse 
, ku 
, Gjej 
: në 
,
.
9.4 Zbërthimi i një shprehjeje në faktorë duke përdorur një derivat.
Një detyrë 1. Faktoroni shprehjen:
Zgjidhja: Numërimi 
variabël, dhe 
Dhe 
konstante fikse (parametra) dhe që shënon shprehjen e dhënë përmes 
, do të ketë:
Prandaj (2)
ku 
- konstante, d.m.th. në këtë rast, një shprehje në varësi të parametrave 
Dhe 
. Për gjetjen 
në barazi 
le të vëmë 
pastaj 
.
Marr 
Një detyrë 2. Faktoroni shprehjen:
Zgjidhje: Meqenëse ndryshorja 
hyn në këtë shprehje në masën më të vogël, konsiderojeni si funksion 
dhe do të kemi:
marrim:
Kështu, shprehja origjinale (3) është e barabartë me 
Një detyrë 3. Faktoroni shprehjen:
Zgjidhje: Duke treguar këtë shprehje përmes 
dhe duke numëruar 
Dhe 
konstante, marrim:
nga ku, ku 
varet vetëm nga 
Dhe 
. Duke vënë në këtë identitet 
, marrim 
Dhe
Për të faktorizuar faktorin e dytë, ne përdorim të njëjtën teknikë, por e konsiderojmë si një variabël 
, meqenëse kjo variabël përfshihet në një masë më të vogël se 
. Duke e treguar atë përmes 
dhe duke numëruar 
Dhe 
konstante, do të kemi:
Kështu, shprehja origjinale (4) është e barabartë me
9.5. Zbatimi i derivatit në pyetjet e ekzistencës së rrënjëve të ekuacioneve.
Derivati mund të përdoret për të përcaktuar se sa zgjidhje ka një ekuacion. Rolin kryesor këtu e luan studimi i funksioneve për monotoninë, duke gjetur vlerat e tij ekstreme. Përveç kësaj, përdoret vetia e funksioneve monotone:
Një detyrë 1. Nëse funksioni 
rritet ose zvogëlohet në një interval të caktuar, pastaj në këtë interval ekuacioni 
ka më së shumti një rrënjë.
Zgjidhje: Fusha e këtij ekuacioni është intervali 
përkufizim në këtë funksion interval 
, duke vënë
Pastaj, në 
,
dhe kështu funksioni 
- në rritje, kështu që ky ekuacion (1) nuk mund të ketë më shumë se një zgjidhje.
Një detyrë 2. Në çfarë vlerash 
ka zgjidhje të ekuacionit
Zgjidhje: domeni i ekuacionit është një segment 
, merrni parasysh funksionin 
, duke vënë
Pastaj në intervalin e hapur 
, pra kjo është pika e vetme kritike e funksionit 
, e cila është padyshim pika maksimale. Për aq sa 
pastaj 
do të marrë vlerën më të madhe në 
, dhe vlera më e vogël - në 
.
Që nga funksioni 
është e vazhdueshme, atëherë diapazoni i vlerave të tij është një segment 
ndërmjet vlerës së tij më të vogël dhe më të madhe. Me fjalë të tjera, ekuacioni origjinal (2) ka zgjidhje për 
.
Derivati përdoret gjerësisht në zgjidhjen e një numri problemesh në matematikën elementare. Nga gjithë gama e problemave të tilla veçojmë ato për zgjidhjen e të cilave përdoret teorema e Lagranzhit dhe pasojat e saj. Këto përfshijnë detyra për vërtetimin e identiteteve, pabarazitë, nxjerrjen e formulave të trigonometrisë, faktorizimin e shprehjeve algjebrike, zgjidhjen e ekuacioneve, pabarazitë, sistemet e ekuacioneve, ekuacionet me parametra. Në këtë rast, mund të tregohen metoda të përgjithshme të zgjidhjes dhe disa metoda të veçanta.
Teorema e Lagranzhit. Le të jetë funksioni f i vazhdueshëm në një segment dhe i diferencueshëm në pikat e brendshme të këtij segmenti. Pastaj ka një pikë të brendshme nga ky segment i tillë që.
Përfundimi 1 (kushti i qëndrueshmërisë) . Nëse funksioni f është i vazhdueshëm në segmentin , dhe derivati i tij është i barabartë me zero brenda këtij segmenti, atëherë funksioni f është konstant në .
Përfundimi 2. Nëse funksionet dhe janë të vazhdueshme në një segment dhe kanë të njëjtat derivate brenda këtij segmenti, atëherë ato ndryshojnë vetëm në një term konstant.
Kushti i monotonitetit për një funksion është gjithashtu pasojë e teoremës së Lagranzhit. Në tekstin shkollor vendoset veçmas në formën e një teoreme.
Konkluzioni 3 ( gjendja e monotonitetit). Nëse një funksion f është i vazhdueshëm në një interval I dhe derivati i tij është pozitiv (përkatësisht negativ) në pikat e brendshme të këtij intervali, atëherë funksioni f rritet (përkatësisht zvogëlohet) në I.
Teorema e Lagranzhit mund të zbatohet:
Kur vërtetohen pabarazitë, në veçanti - pabarazitë numerike;
Kur hulumtohet çështja e rrënjëve të një polinomi ose ekuacioni;
Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve.
Në procesin e zgjidhjes së problemeve të tilla, funksioni f(x) në segmentin , i cili plotëson kushtet e teoremës së Lagranzhit, futet në konsideratë dhe për të shkruhet formula e Lagranzhit., c (a;b) dhe f'(c) vlerësohet, dhe, rrjedhimisht, shprehja, e cila na lejon të vërtetojmë pabarazinë e konsideruar ose të zgjidhim problemin e rrënjëve të një polinomi, një ekuacioni.
Shembulli 1. Vërtetoni se.
Zgjidhje. Funksioni f(x)=arccosx në segment është i vazhdueshëm dhe i diferencueshëm në intervalin (0.6;0.8),. Prandaj, për funksionin f(x) në këtë segment plotësohen kushtet e teoremës së Lagranzhit dhe, ku 0.6
Shembulli 2. Vërtetoni se e x >=ex.
Zgjidhje. Pabarazia vlen për x=1. Konsideroni funksionin f(x)=e x -ex. Atëherë për çdo numër b (b>1) për këtë funksion kushtet e teoremës së Lagranzhit plotësohen në segmentin , dhe për b, d.m.th.. Meqenëse c>1 me b>1, atëherë e c >e dhe, rrjedhimisht, e c -e>0. Pastaj, dhe si rrjedhim e b -eb>0, d.m.th. e b >eb për çdo b>1. Kështu, vërtetohet se e x >=ex për x>=1.
Nëse b, d.m.th. nga, rrjedh se e b -eb>0, d.m.th. eb >eb.
Pra, vërtetohet se pabarazia e x >= ex është e vërtetë për çdo x real. Në veçanti, për x=c+1 marrim e c+1 >=e(c+1), d.m.th. e c >=c+1, ku c është çdo numër real.
Shembulli 3. Vërtetoni se ekuacioninuk ka rrënjë të vërteta pozitive.
Zgjidhje. Le të jetë b çdo numër pozitiv. Merrni parasysh funksionin f(x)=
, i vazhdueshëm në interval dhe që ka një derivatnë intervalin (0;b). Nga teorema e Lagranzhit, ne kemi,
0
Shembulli 4. Vërtetoni se në intervalin (0, 2) ekzistojnë më së shumti dy rrënjë të ndryshme reale të ekuacionit.
Zgjidhje. Supozoni se ekuacioni ka të paktën tre rrënjë të ndryshme reale x 1 , x 2 , x 3 që i përkasin intervalit (0.2), dhe le të x 1
Le të gjejmë derivatin f'(x):
. Sepsepër çdo x, atëherë ekuacioni f’(x)=0 ka një rrënjë të vetme x= që i përket intervalit (0, 2). Arritëm në një kontradiktë, pasi c 1 dhe c 2 (c 1 c 2) janë rrënjët e ekuacionit f'(x)=0, duke vërtetuar kështu se ekuacionika më së shumti dy rrënjë reale të ndryshme në intervalin (0,2).
Shembulli 5. Zgjidhet ekuacioni x 9 -9x 5 +63x-55=0.
Zgjidhje. Është e lehtë të shihet se numri x 1 \u003d 1 është rrënja e këtij ekuacioni. Supozoni se ka të paktën një rrënjë më të vërtetë x 2 të ndryshme nga x 1. Numrat x 1 dhe x 2 janë zero të funksionit f(x)=x 9 -9x 5 +63x-55 dhe, pra, f(x 1)=f(x 2)=0. Le të zbatojmë teoremën e Lagranzhit në funksionin f(x) në intervalin nëse x 1
Përcaktoni numrin e pikave kritike të funksionit y \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9).
Zgjidhje. Meqenëse shkalla e polinomit f (x) \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9) është 5, atëherë derivati i tij f '(x) është një polinom i shkallës së katërt dhe nuk ka më shumë se katër rrënjë të vërteta. Le të zbatojmë teoremën e Lagranzhit në funksionin f(x)=(x+1)(x-1)x(x-8)(x-9) në intervalet [-1;0], , , dhe të marrim parasysh që f( -1)=f(0)=f(1)=f(8)=f(9)=0. Në secilin segment të tillë ka përkatësisht pika të brendshme x 1 , x 2 , x 3 , x 4, të tilla që, , , , d.m.th. f'(x 1)=0, f'(x 2)=0, f'(x 3)=0, f'(x 4)=0. Dhe duke pasur parasysh se x 1, x 2, x 3, x 4 janë rrënjë të ndryshme të polinomit f'(x) të shkallës së katërt, arrijmë në përfundimin se nuk ka rrënjë të tjera përveç atyre të marra dhe, për rrjedhojë, funksioni y = (x 2 - 1) (x 2 -8x) (x-9) ka katër pika kritike.
Kushti i monotonitetit për një funksion mund të zbatohet:
Gjatë zgjidhjes së pabarazive;
Kur vërtetohen pabarazitë me një ndryshore;
Gjatë vërtetimit të mosbarazimeve numerike;
Kur hulumtohet çështja e numrit të rrënjëve të ekuacionit;
Në disa raste, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, ekuacioneve me parametra, sistemeve të ekuacioneve.
Zgjidhja e problemeve duke përdorur kushtin e monotonitetit bazohet në marrëdhënien midis rritjes ose uljes së një funksioni dhe shenjës së derivatit të tij në një interval të caktuar. Në të njëjtën kohë, duke krahasuar vlera të ndryshme të argumentit nga ky interval i funksionit monotonik të konsideruar, bëhet një përfundim në lidhje me vlerat përkatëse të këtij funksioni.
Shembulli 7. Vërtetoni se 3xcosx
Zgjidhje. Le të vërtetojmë se nëse 0
Duke pasur parasysh se f(0)=0, do të kemi tgx-3x+2sinx>0. Dhe që në mescosx>0, pastaj cosx(tgx+2sinx-3x)>0. Kështu, vërtetohet se sinx+sin2x-3xcosx>0, pra se 3xcosx
Shembulli 8. Vërtetoni se
1) Dhenëse 0 2) Dhe, nëse e
Zgjidhje. Konsideroni një funksion të vazhdueshëm në intervalin (0;+). Që nga derivati i tijështë e barabartë me zero në x=e dhe në 0 Pjesa tjetër e pasojave të teoremës së Lagranzhit mund të zbatohen: Gjatë vërtetimit të identiteteve, veçanërisht gjatë nxjerrjes së formulave të matematikës elementare; Kur thjeshtohen shprehjet; Gjatë zbërthimit të shprehjeve algjebrike në faktorë. Kur zgjidhen një numër problemesh të tilla në një interval të caktuar, merret parasysh njëri funksion f(x), i tillë që derivati i tij f’(x)=0 dhe, për rrjedhojë, funksioni është konstant, d.m.th. ka formën f(x)=c, ose dy funksione f(x) dhe g(x), të tilla që f'(x)=g'(x), dhe arrihet në përfundimin se f(x)=g(x )+c (c është një konstante). Kjo konstante gjendet duke vendosur x të barabartë me një vlerë x 1. Shembulli 12. Nxjerr një formulë. Zgjidhje. Funksioni f(x)=e vazhdueshme në vijën e plotë numerike. Le të gjejmë derivatin e këtij funksioni f'(x)=2sinxcosx-sin2x=sin2x-sin2x. f'(x)=0 për çdo vlerë reale x, prandaj, në bazë të kushtit të qëndrueshmërisë së funksionit, mund të konkludojmë se funksioni f(x) është konstant, d.m.th. f(x)=c. Për të përcaktuar konstanten c vendosim x=0 dhe marrim f(0)=c, d.m.th. sin 2 0-0,5+0,5cos0=c. Kështu, c=0 dhe rrjedhimisht f(x)=0, prej nga marrim=0, ose. Shembulli 13. Vërtetoni se arctgx=arcsinnë x
Zgjidhje. Konsideroni dy funksione f(x)=arctgx dhe g(x)=arcsin të vazhdueshme në intervalin (-;0], atëherë ato janë të vazhdueshme në çdo interval . Le të gjejmë derivatet e këtyre funksioneve. , . Meqenëse për xdhe pastaj f'(x)=g'(x) brenda segmentit . Bazuar në përfundimin 2, kemi f(x)=g(x)+c, ku c është një konstante. Për të përcaktuar c, le të themi x=-1, që jep arctg(-1)=arcsin, d.m.thPra marrim arctgx=arcsinnë x
Derivati përdoret gjerësisht në zgjidhjen e një numri problemesh në matematikën elementare. Nga gjithë gama e problemave të tilla veçojmë ato për zgjidhjen e të cilave përdoret teorema e Lagranzhit dhe pasojat e saj. Këto përfshijnë detyra për vërtetimin e identiteteve, pabarazitë, nxjerrjen e formulave të trigonometrisë, faktorizimin e shprehjeve algjebrike, zgjidhjen e ekuacioneve, pabarazitë, sistemet e ekuacioneve, ekuacionet me parametra. Në këtë rast, mund të tregohen metoda të përgjithshme të zgjidhjes dhe disa metoda të veçanta. Teorema e Lagranzhit. Le të jetë funksioni f i vazhdueshëm në një segment dhe i diferencueshëm në pikat e brendshme të këtij segmenti. Pastaj ka një pikë të brendshme nga ky segment i tillë që.
Përfundimi 1 (kushti i qëndrueshmërisë) .
Nëse funksioni f është i vazhdueshëm në segmentin , dhe derivati i tij është i barabartë me zero brenda këtij segmenti, atëherë funksioni f është konstant në . Përfundimi 2. Nëse funksionet dhe janë të vazhdueshme në një segment dhe kanë të njëjtat derivate brenda këtij segmenti, atëherë ato ndryshojnë vetëm në një term konstant. Kushti i monotonitetit për një funksion është gjithashtu pasojë e teoremës së Lagranzhit. Në tekstin shkollor vendoset veçmas në formën e një teoreme. Konkluzioni 3 ( gjendja e monotonitetit). Nëse një funksion f është i vazhdueshëm në një interval I dhe derivati i tij është pozitiv (përkatësisht negativ) në pikat e brendshme të këtij intervali, atëherë funksioni f rritet (përkatësisht zvogëlohet) në I. Teorema e Lagranzhit mund të zbatohet: Kur vërtetohen pabarazitë, në veçanti - pabarazitë numerike; Kur hulumtohet çështja e rrënjëve të një polinomi ose ekuacioni; Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve. Në procesin e zgjidhjes së problemeve të tilla, funksioni f(x) në segmentin , i cili plotëson kushtet e teoremës së Lagranzhit, futet në konsideratë dhe për të shkruhet formula e Lagranzhit., c (a;b) dhe f'(c) vlerësohet, dhe, rrjedhimisht, shprehja, e cila na lejon të vërtetojmë pabarazinë e konsideruar ose të zgjidhim problemin e rrënjëve të një polinomi, një ekuacioni. Shembulli 1. Vërtetoni se. Zgjidhje. Funksioni f(x)=arccosx në segment është i vazhdueshëm dhe i diferencueshëm në intervalin (0.6;0.8),. Prandaj, për funksionin f(x) në këtë segment plotësohen kushtet e teoremës së Lagranzhit dhe, ku 0.6 Shembulli 2. Vërtetoni se e x >=ex. Zgjidhje. Pabarazia vlen për x=1. Konsideroni funksionin f(x)=e x -ex. Atëherë për çdo numër b (b>1) për këtë funksion kushtet e teoremës së Lagranzhit plotësohen në segmentin , dhe për b, d.m.th.. Meqenëse c>1 me b>1, atëherë e c >e dhe, rrjedhimisht, e c -e>0. Pastaj, dhe si rrjedhim e b -eb>0, d.m.th. e b >eb për çdo b>1. Kështu, vërtetohet se e x >=ex për x>=1. Nëse b, d.m.th. nga, rrjedh se e b -eb>0, d.m.th. eb >eb. Pra, vërtetohet se pabarazia e x >= ex është e vërtetë për çdo x real. Në veçanti, për x=c+1 marrim e c+1 >=e(c+1), d.m.th. e c >=c+1, ku c është çdo numër real. Shembulli 3. Vërtetoni se ekuacioninuk ka rrënjë të vërteta pozitive. Zgjidhje. Le të jetë b çdo numër pozitiv. Merrni parasysh funksionin f(x)=
, i vazhdueshëm në interval dhe që ka një derivatnë intervalin (0;b). Nga teorema e Lagranzhit, ne kemi,
0 Shembulli 4. Vërtetoni se në intervalin (0, 2) ekzistojnë më së shumti dy rrënjë të ndryshme reale të ekuacionit. Zgjidhje. Supozoni se ekuacioni ka të paktën tre rrënjë të ndryshme reale x 1 , x 2 , x 3 që i përkasin intervalit (0.2), dhe le të x 1 Le të gjejmë derivatin f'(x): . Sepsepër çdo x, atëherë ekuacioni f’(x)=0 ka një rrënjë të vetme x= që i përket intervalit (0, 2). Arritëm në një kontradiktë, pasi c 1 dhe c 2 (c 1 c 2) janë rrënjët e ekuacionit f'(x)=0, duke vërtetuar kështu se ekuacionika më së shumti dy rrënjë reale të ndryshme në intervalin (0,2). Shembulli 5. Zgjidhet ekuacioni x 9 -9x 5 +63x-55=0. Zgjidhje. Është e lehtë të shihet se numri x 1 \u003d 1 është rrënja e këtij ekuacioni. Supozoni se ka të paktën një rrënjë më të vërtetë x 2 të ndryshme nga x 1. Numrat x 1 dhe x 2 janë zero të funksionit f(x)=x 9 -9x 5 +63x-55 dhe, pra, f(x 1)=f(x 2)=0. Le të zbatojmë teoremën e Lagranzhit në funksionin f(x) në intervalin nëse x 1 Përcaktoni numrin e pikave kritike të funksionit y \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9). Zgjidhje. Meqenëse shkalla e polinomit f (x) \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9) është 5, atëherë derivati i tij f '(x) është një polinom i shkallës së katërt dhe nuk ka më shumë se katër rrënjë të vërteta. Le të zbatojmë teoremën e Lagranzhit në funksionin f(x)=(x+1)(x-1)x(x-8)(x-9) në intervalet [-1;0], , , dhe të marrim parasysh që f( -1)=f(0)=f(1)=f(8)=f(9)=0. Në secilin segment të tillë ka përkatësisht pika të brendshme x 1 , x 2 , x 3 , x 4, të tilla që,
,
,
, d.m.th. f'(x 1)=0, f'(x 2)=0, f'(x 3)=0, f'(x 4)=0. Dhe duke pasur parasysh se x 1, x 2, x 3, x 4 janë rrënjë të ndryshme të polinomit f'(x) të shkallës së katërt, arrijmë në përfundimin se nuk ka rrënjë të tjera përveç atyre të marra dhe, për rrjedhojë, funksioni y = (x 2 - 1) (x 2 -8x) (x-9) ka katër pika kritike. Kushti i monotonitetit për një funksion mund të zbatohet: Gjatë zgjidhjes së pabarazive; Kur vërtetohen pabarazitë me një ndryshore; Gjatë vërtetimit të mosbarazimeve numerike; Kur hulumtohet çështja e numrit të rrënjëve të ekuacionit; Në disa raste, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, ekuacioneve me parametra, sistemeve të ekuacioneve. Zgjidhja e problemeve duke përdorur kushtin e monotonitetit bazohet në marrëdhënien midis rritjes ose uljes së një funksioni dhe shenjës së derivatit të tij në një interval të caktuar. Në të njëjtën kohë, duke krahasuar vlera të ndryshme të argumentit nga ky interval i funksionit monotonik të konsideruar, bëhet një përfundim në lidhje me vlerat përkatëse të këtij funksioni. Shembulli 7. Vërtetoni se 3xcosx Zgjidhje. Le të vërtetojmë se nëse 0 Duke pasur parasysh se f(0)=0, do të kemi tgx-3x+2sinx>0. Dhe që në mescosx>0, pastaj cosx(tgx+2sinx-3x)>0. Kështu, vërtetohet se sinx+sin2x-3xcosx>0, pra se 3xcosx Shembulli 8. Vërtetoni se 1) Dhenëse 0 2) Dhe, nëse e
Zgjidhje. Konsideroni një funksion të vazhdueshëm në intervalin (0;+). Që nga derivati i tijështë e barabartë me zero në x=e dhe në 0 Pjesa tjetër e pasojave të teoremës së Lagranzhit mund të zbatohen: Gjatë vërtetimit të identiteteve, veçanërisht gjatë nxjerrjes së formulave të matematikës elementare; Kur thjeshtohen shprehjet; Gjatë zbërthimit të shprehjeve algjebrike në faktorë. Kur zgjidhen një numër problemesh të tilla në një interval të caktuar, merret parasysh njëri funksion f(x), i tillë që derivati i tij f’(x)=0 dhe, për rrjedhojë, funksioni është konstant, d.m.th. ka formën f(x)=c, ose dy funksione f(x) dhe g(x), të tilla që f'(x)=g'(x), dhe arrihet në përfundimin se f(x)=g(x )+c (c është një konstante). Kjo konstante gjendet duke vendosur x të barabartë me një vlerë x 1. Shembulli 12. Nxjerr një formulë. Zgjidhje. Funksioni f(x)=e vazhdueshme në vijën e plotë numerike. Le të gjejmë derivatin e këtij funksioni f'(x)=2sinxcosx-sin2x=sin2x-sin2x. f'(x)=0 për çdo vlerë reale x, prandaj, në bazë të kushtit të qëndrueshmërisë së funksionit, mund të konkludojmë se funksioni f(x) është konstant, d.m.th. f(x)=c. Për të përcaktuar konstanten c vendosim x=0 dhe marrim f(0)=c, d.m.th. sin 2 0-0,5+0,5cos0=c. Kështu, c=0 dhe rrjedhimisht f(x)=0, prej nga marrim=0, ose. Shembulli 13. Vërtetoni se arctgx=arcsinnë x
Zgjidhje. Konsideroni dy funksione f(x)=arctgx dhe g(x)=arcsin të vazhdueshme në intervalin (-;0], atëherë ato janë të vazhdueshme në çdo interval . Le të gjejmë derivatet e këtyre funksioneve. , . Meqenëse për xdhe pastaj f'(x)=g'(x) brenda segmentit . Bazuar në përfundimin 2, kemi f(x)=g(x)+c, ku c është një konstante. Për të përcaktuar c, le të themi x=-1, që jep arctg(-1)=arcsin, d.m.thPra marrim arctgx=arcsinnë x
Shembulli 14. Vërtetoni identitetin Zgjidhje. vini re, se, për çdo x dhe funksion real,
e vazhdueshme në vijën e plotë numerike. Ne kemi, . 1) Konsideroni funksionin F(x)=f(x)+g(x), x (-;-1) (0;1). F(x)=, dhe F'(x)=f'(x)+g'(x)=. Nëse x (-;-1), atëherë |x 2 -1|=x 2 -1, |x|=-x dhe F'(x)=0. Nëse x (0;1), atëherë |x 2 -1|=-(x 2 -1), |x|=x dhe F'(x)=0. Në bazë të kushtit të qëndrueshmërisë së funksionit F(x)=c, d.m.th.. Në secilin nga intervalet e konsideruara, ne përcaktojmë c duke vendosur, për shembull, x =dhe x=. , pra, c=. , pra c=0. Ne kemi:për x (-;-1),për x(0;1). 2) Konsideroni funksionin G(x)=f(x)-g(x), x (-1;0) (1; +). , . Nëse x (-1; 0), atëherë |x 2 -1|=-(x 2 -1), |x|=-x dhe G'(x)=0. Nëse x (1; +), atëherë |x 2 -1|=x 2 -1, |x|=x dhe G'(x)=0. Atëherë funksioni G(x) është konstant në intervalet e specifikuara, d.m.th.. Le të jetë x=dhe x=, marrim, pra, c=;, atëherë c=0. Ne kemi:në x (-1; 0),për x (1;+). 3) Llogaritni vlerat e f(x) dhe g(x) për x=± 1 dhe x=0. f(-1)=arccos(-1)=, g(-1)=arcsin0=0; prandaj, për x=-1 f(x)=+g(x), d.m.th.. , , pra, në x=0 f(x)=-g(x), d.m.th.. f(1)=arccos1=0, g(1)=arcsin0=0, pra, në x= 1 f(x)=g(x), d.m.th.. Kështu, ky identitet vërtetohet për të gjithë x-të realë. Shembulli 15. Faktorizimi i një shprehjeje y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x). Zgjidhje. Ne do ta shikojmë këtë shprehje si funksion të ndryshores x: f (x) \u003d y 2 (x-z) + x 2 (z-y) + z 2 (y-x). Gjeni f'(x). f'(x)=y 2 +2x(zy)-z 2 =y 2 -z 2 -2x(yz)=(yz)(y+z)-2x(yz)=(yz)(y+z- 2x). g'(x)=(y-z)((y+z)-2x). Si funksion g(x) mund të marrim g(x)=(y-z)((y-z)x-x 2). Meqenëse funksionet f(x) dhe g(x) janë të vazhdueshëm dhe të diferencueshëm në të gjithë drejtëzën reale dhe f'(x)=g'(x), atëherë nga përfundimi 2 f(x)=g(x)+c, ku nuk varet nga x, por mundësisht varet nga y dhe z. Kemi y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x)=(y-z)((y+z)x-x 2)+c. Le të gjejmë c duke vendosur në këtë barazi, për shembull, x=0. Kemi yz 2 -zy 2 =c. Atëherë f(x)=g(x)+yz 2 -zy 2 , d.m.th. f(x)=(yz)((y+z)xx 2)+yz 2 -zy 2 =(yz)(xy+xz-x 2)-yz(yz)=(yz)(xy-x 2 + xz-yz)=(yz)(x(yx)-z(yx))=(yz)(yx)(xz). Pra y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x)=(y-z)(y-x)(x-z).