Riešenie nerovností pomocou derivácie. Použitie derivácie na riešenie rovníc, dokazovanie a riešenie nerovníc. Materiál na mimoškolské aktivity. Faktorizácia výrazu pomocou derivátu
Содержание статьи
1.3. Použitie derivácie pri riešení rovníc
Ukážme si, ako možno pomocou derivácie vyriešiť problémy existencie koreňov rovnice av niektorých prípadoch aj ich hľadanie. Tak ako predtým, hlavnú úlohu tu bude hrať štúdium funkcie pre monotónnosť, hľadanie jej extrémnych hodnôt. Okrem toho sa využije množstvo vlastností monotónnych a spojitých funkcií.
Vlastnosť 1. Ak funkcia f na niektorom intervale rastie alebo klesá, potom na tomto intervale má rovnica f(x)=0 najviac jeden koreň.
Toto tvrdenie vyplýva priamo z definície rastúcich a klesajúcich funkcií. Koreň rovnice f(x)=0 sa rovná osi x priesečníka grafu funkcie y=f(x) s osou x.
Vlastnosť 2. Ak je funkcia f definovaná a spojitá na intervale a na svojich koncoch nadobúda hodnoty rôznych znamienok, potom medzi a a b je bod c, v ktorom f(c)=0.
Problém 1.12. vyriešiť rovnicu
Všimnite si, čo je koreňom rovnice. Dokážme, že táto rovnica nemá žiadne iné korene. Študujeme funkciu f, kde 
, pre monotónnosť. Derivát 
. Nastavme intervaly, v ktorých si funkcia zachováva svoje znamienko. Aby sme to dosiahli, skúmame jeho monotónnosť. Derivát 
. Keďže pre , potom pre . Preto sa funkcia zvyšuje pre kladné hodnoty x; . Preto o . Keďže funkcia je párna, nadobúda kladné hodnoty pre všetkých. Preto sa f zvyšuje na celej číselnej osi. Podľa vlastnosti 1 má rovnica najviac jeden koreň. Takže je to jediný koreň rovnice.
Problém 1.13. Vyriešte sústavu rovníc 
Systém je ekvivalentný nasledovnému: 
Z prvej rovnice vyplýva, že z druhej - . Z prvej rovnice x vyjadrujeme pomocou y: , . Potom 
. uvedenie, dostaneme 
alebo 
. Derivácia funkcie f, kde , sa rovná . je záporná pre všetky hodnoty t. Funkcia f je teda klesajúca. Preto rovnica má najviac jeden koreň. Všimnite si, aký je jeho koreň. Takže jediné riešenie systému.
Problém 1.14. Dokážte, že rovnica má jedinečný koreň ležiaci v intervale .
Rovnica je redukovaná ekvivalentnými transformáciami do tvaru , kde 
. Funkcia f je rastúca, pretože 
so všetkým . Podľa vlastnosti 1 má rovnica najviac jedno riešenie. Funkcia f je navyše spojitá, 
, . Vďaka vlastnosti 2 má rovnica na intervale koreň.
V úlohe 3 bolo potrebné dokázať, že koreň rovnice patrí do nejakého intervalu. Použili sme vlastnosť 2 spojitej funkcie na segmente, ktorý na koncoch tohto segmentu nadobúda hodnoty rôznych znamienok. Nie vždy táto cesta pri riešení takýchto problémov vedie k cieľu. Niekedy je účelné použiť nasledujúcu vlastnosť diferencovateľných funkcií.
Vlastnosť 3 (Rolleho veta). Ak je funkcia f spojitá na intervale , diferencovateľná na intervale (a,b) a f(a)=f(b), potom existuje bod taký, že .
V geometrickom jazyku vlastnosť 3 znamená nasledovné: if , tak na grafe krivky je bod C so súradnicami , kde dotyčnica ku grafu je rovnobežná s osou x.
Problém 1.15. Dokážte, že rovnica pre , má najviac jeden skutočný koreň.
Predpokladajme, že rovnica má aspoň dva korene a . Funkcia f, kde je diferencovateľná na celej reálnej čiare. Pretože 
, potom podľa vlastnosti 3 má jeho derivácia na intervale koreň. Avšak, rovnica nemá žiadne riešenia. Získaný rozpor ukazuje, že rovnica nemôže mať viac ako jeden koreň.
Problém 1.16. Dokážte, že polynóm , ,
Má najviac n koreňov.
Podľa vlastnosti 3 medzi dvoma koreňmi polynómu leží aspoň jeden koreň jeho derivácie. Ak teda polynóm f(x) má odlišné korene, potom jeho derivácia musí mať aspoň (k-1) koreňov. Rovnakým spôsobom - aspoň k-2 koreňov atď., n-tá derivácia - aspoň (k-n) koreňov, . To je nemožné, pretože ide o nenulovú konštantu.
Problém 1.17. Dokážte, že polynóm má koreň medzi 0 a 1 ().
Použitie vlastnosti 2 na cieľ nevedie k výsledku, pretože . Uvažujme funkciu g, kde . Pre ňu je funkcia f deriváciou. Od , teda podľa majetku 3, za niekt 
.
Problém 1.18. Dokážte, že rovnica 
nemá skutočné korene.
Nechať byť 
, potom 
. Ak x je koreň rovnice, potom , t.j. funkcia f v dôsledku svojej spojitosti klesá v okolí každého koreňa. Všimnite si, že ak má rovnica korene, potom sú záporné. Je známe, že polynóm n-tého stupňa nemá viac ako n koreňov. Označte - najväčší z koreňov. Potom existuje taká, že . Keďže , potom musí interval obsahovať koreň x polynómu f(x). dostal rozpor.
Uvažujme rovnicu tvaru , kde f, g sú vzájomne inverzné, rastúce funkcie, ktoré majú rovnaké definičné oblasti. Ukážme, že táto rovnica je ekvivalentná rovnici . (3)
Nech je a skutočne koreňom rovnice (3), t.j. . Vzhľadom na to, že definičný obor funkcie g sa zhoduje s množinou hodnôt funkcie f a naopak, môžeme písať: 
, alebo , t.j. , a je koreňom rovnice .
Naopak, nech , ale . Potom alebo. prvý prípad. To isté platí pre druhý prípad.
Takto sa získal jeden konkrétny spôsob ekvivalentnej transformácie rovníc.
Problém 1.19. Vyriešte rovnicu.
Prepíšme túto rovnicu do tvaru 
. Funkcia 
je spojitá, rastúca (ako súčet dvoch rastúcich funkcií a ), teda má inverznú. Poďme to nájsť: 
, 
. Takže inverzia k f je funkcia 
, ktorá sa zhoduje s pravou stranou rovnice. Na základe vyššie uvedeného je rovnica ekvivalentná rovnici 
. Je jasné, že to je koreň rovnice. Uistite sa, že rovnica nemá žiadne iné korene. 
Formulovaná hypotéza mala riešiť tieto úlohy: 1. Identifikovať úlohu goniometrických rovníc a nerovníc vo vyučovaní matematiky; 2. Vypracovať metodiku na vytváranie zručností pri riešení goniometrických rovníc a nerovníc zameranú na rozvoj goniometrických zobrazení; 3. Experimentálne overte účinnosť vypracovanej metodiky. Pre riešenia...
Body súradnicovej osi. Lekcia číslo 4. Téma: Analytická metóda. Metóda vetvenia. Cieľ hodiny: oboznámiť študentov so základnou metódou riešenia rovníc obsahujúcich parameter. Čítanie pre učiteľov: Pozri , , , , Čítanie pre študentov: Pozri Zhrnutie: Pohľad na rôzne hodnoty, ktoré môže mať parameter. Zjednodušenie rovnice a uvedenie rovnice do súčinu...
V algebre a začiatkoch analýzy, v príprave na štátnu záverečnú certifikáciu, externé nezávislé hodnotenie. Dostatočne veľký počet problémov odhaľuje potenciálne možnosti analýzy infinitezimálnych veličín. 1. Derivácia a jej aplikácia na riešenie aplikovaných úloh 1.1 Historické informácie Už v staroveku sa riešilo množstvo problémov diferenciálneho počtu. Stretli sa v...
Uvedená veta svedčí o dôležitosti apriórnych odhadov pre dokazovanie existencie a vety o jedinečnosti riešení. Kapitola 2. Príklad aplikácie 1. Uvažujme integrálnu rovnicu s malým reálnym parametrom λ: (1) Toto je rovnica v tvare А()х = у() – operátorová rovnica v С[-π; π], kde Ukážme, že A() je analytické v bode 0, t.j. rozložené na rad druhov. Poďme si rozobrať funkciu...
Veľkosť: px
Začať zobrazenie zo stránky:
prepis
1 1 Použitie derivácie na riešenie rovníc, dokazovanie a riešenie nerovníc Materiál pre voliteľné hodiny Piryutko ON - docent Katedry matematiky a metód vyučovania matematiky BSPU, Kovgorenya LV - magisterský študent Katedry matematiky a metód vyučovania Matematika Bieloruskej štátnej pedagogickej univerzity Tradične sa v školských učebniciach použitie derivácie vzťahuje na jej fyzikálny a geometrický význam, výskum a grafovanie funkcií, riešenie optimalizačných úloh Článok ponúka materiály o využití derivácie na riešenie rovníc, nerovníc. , doklad o nerovnostiach, ktoré je možné využiť na hodinách nepovinných tried, je vhodné spolu s existujúcimi učebnicami používať učebnice pre triedy s hĺbkovým štúdiom matematiky Používanie derivácie na riešenie rovníc (1. lekcia) Výchovné ciele: formovanie zručností riešenie rovníc f(x)=0 skúmaním funkcie f(x) pomocou derivácie; formovať zručnosti dokazovania existencie koreňa, jedinečnosti koreňa danej rovnice pomocou derivácie Rozvojové ciele: rozvíjať schopnosť aplikovať metódy zovšeobecňovania a konkretizácie pri aplikácii algoritmov na riešenie rovníc; naučiť používať analógiu, porovnávanie, porovnávanie, klasifikáciu, pri výbere tej či onej metódy riešenia rovníc Výchovné ciele: pestovať presnosť, jasnosť a dôslednosť pri riešení úloh; formovať schopnosť plánovať si vlastnú výchovno-vzdelávaciu a poznávaciu činnosť Opakovanie hlavných teoretických ustanovení Stanovenie prírastku (úbytku) funkcie na danom intervale Funkcia stúpa (klesá) na danom intervale, ak pre
2 2 ľubovoľné body az intervalu, ktoré spĺňajú podmienku, nerovnosť je pravdivá To znamená, že rastúce klesajúce funkcie rastúce alebo klesajúce na I sa nazývajú monotónne na I Dostatočné kritérium pre rastúcu funkciu Ak > 0 v každom bode intervalu I, potom funkcia sa zvýši o I Dostatočné kritérium pre zníženie funkcie Ak
3 3 sa zdá byť možné alebo vedie k ťažkopádnym transformáciám Ak je možné dokázať, že rovnica nemá iné korene ako tie, ktoré boli nájdené, problém je vyriešený. koreň tejto rovnice Dokážme, že tento koreň je jedinečný pomocou vlastností monotónnosti funkcie 1 Napíšme túto rovnicu v tvare: 2 Nech; 3; 4, cez celý definičný obor 5 Keďže funkcia narastá o, rovnica nemá viac ako jeden koreň Preto je vybraný koreň jediným koreňom tejto rovnice Odpoveď: Sformulujme algoritmy na riešenie problémov tohto typu Algoritmus (I ) na riešenie rovníc pomocou derivácie: »na výpočet hodnoty premennej koreň rovnice 2Uveďte rovnicu do tvaru; 3Nájdite definičný obor funkcie 4Preskúmajte monotónnosť funkcie alebo intervaly, ktoré do nej patria; 5Ak funkcia rastie (klesá) na uvažovanom intervale, potom urobte záver o jedinečnosti nájdeného koreňa rovnice na tomto intervale Algoritmus (II) na určenie počtu koreňov rovnice: 1 Uveďte rovnicu do forma; 2 Nájdite rozsah funkcie;
4 4 3 Preskúmajte monotónnosť funkcie alebo intervaly patriace do 4 Ak je to možné, skontrolujte znamienka hodnôt funkcie na koncoch segmentu od D(f); 5 Záver: o ak je vnútri intervalu (), potom existuje najviac jedna hodnota taká, že; o ak je na intervale (a potom existuje jedinečná hodnota taká, že Vyriešte nasledujúce rovnice pomocou algoritmu 2 Vyriešte rovnicu 1 Určite, že koreň tejto rovnice je 2 Táto rovnica sa zredukuje na tvar: 3 ; =0 4 na celý definičný obor (Všimnite si, že) 5 Keďže funkcia narastá o, potom jediným riešením je nájdený koreň rovnice: 3 Riešte rovnicu 1 Určíme, že koreň tejto rovnice je 2 Táto rovnica bude zredukovaná do tvaru = 0; 3
5 5 Všimnite si, že funkcia je párna, preto je aj koreňom tejto rovnice, preto stačí dokázať, že funkcia je monotónna na polovičnom intervale; 4 na; 5Keďže funkcia klesá v polovičnom intervale, rovnica v dôsledku rovnomernosti funkcie nemá žiadne iné korene okrem, Odpoveď: 4 Riešte rovnicu 1 Všimnite si, že korene tejto rovnice sú hodnoty 2 Táto rovnica bude zredukovať na tvar: Keďže funkcia je párna, stačí dokázať, že je monotónna na polovičnom intervale; 4 v polovičnom intervale; 5 Keďže funkcia narastá na polovičnom intervale, rovnica v dôsledku parity nemá iné korene než z Odpoveď: 5 Dokážte, že rovnica má jeden koreň Na dôkaz použijeme Algoritmus II ; Všimni si,
6 6 3, 4Keďže derivácia zaniká v jednom bode, z 5, potom pre x rastieme Preto rovnica má jeden koreň, môžete vidieť, že tento koreň je 6 Vyriešte rovnicu 1 je koreň tohto rovnica; 2; 3 D 4 V 5 Keďže funkcia rastie v polovičnom intervale, rovnica nemá žiadne iné korene okrem x=1 Odpoveď: 7 Riešte rovnicu 1 Určíme, že koreň tejto rovnice je 2 ; 3D; 4 Funkcia je párna*, teda je to aj koreň Všimnite si, že x=0 nie je koreň tejto rovnice Ukážme, že funkcia je monotónna na intervale na intervale , nemá žiadnu inú
7 7 *Dôkaz parity: 1) vzhľadom k nule 2) Definičný obor funkcie je symetrický 8 Vyriešte rovnicu Je vidieť, že koreň tejto rovnice je 1 Let; 2 Funkcia je párna a periodická s hlavnou periódou Preto budú aj riešenia rovnice, Ukážeme, že rovnica nemá iné korene Stačí sa teda uistiť, že funkcia je monotónna, napr. interval 3 as, potom So je funkcia rastúca na zadanom intervale 4 Z toho vyplýva, že korene rovnice budú len, Odpoveď:, 9 Riešte rovnicu Určíme, že koreň tejto rovnice je hodnotou premenná 1 Let; 2 Všimnite si, že funkcia je párna a periodická s hlavnou periódou, preto riešenia rovnice budú tiež, Ukážme, že rovnica nemá iné korene
8 8 Stačí sa uistiť, že funkcia v intervale 3 je na zadanom intervale monotónna, funkcia je rastúca 4 Z toho vyplýva, že korene rovnice budú, Odpoveď:, Treba poznamenať, že navrhované úlohy môžu riešiť bez použitia derivácie Je vhodné zvážiť a prediskutovať so žiakmi iné spôsoby ich riešenia Uveďme stručné riešenia niektorých rovníc inými prístupmi 1 Všimnite si, že pre x>0 funkcia y= x 2 +9 rastie, klesá , zväčšuje sa, zväčšuje sa Preto hodnota posledne menovaného, rovná 24, sa berie najviac pre jednu hodnotu argumentu. Zvolená hodnota x=4 je teda jediným riešením tejto rovnice, koreň tejto rovnice je 3 Urobme nahradenie:, potom sa riešenie rovnice redukuje na riešenie systému (t + k \u003d 4, k 4 + t 4 =82 Uveďme druhú rovnicu do tvaru: Z tejto rovnice nájdeme tk=3 alebo tk=29 Riešenia sústav (t+k=4, kt=3; (t+k=4, kt=29, dostaneme t=1, k=3 alebo t=3, k=1 Dosadením do (1) dostaneme x=
9 9 4 Keď si všimneme, že s každým odmocninou x 0 je číslo - x 0 aj koreňom rovnice, vyriešime ho pre x>0 Otvorením zátvoriek a rozdelením ľavej strany rovnice na faktory dostaneme: teda toto rovnica je na intervale Zvážte nasledujúce úlohy: 1Dokážte, že na dôkaz Uvažujme funkciu na intervale; Pozrime sa na monotónnosť, odkiaľ vyplýva, že funkcia je klesajúca pre a
11 11 Označme ľavou hranicou segmentu: Potom v dôsledku klesajúcej funkcie na segmente, definíciou klesajúcej funkcie pre všetky x z tohto segmentu, získame alebo 2 skúmanie funkcie pre monotónnosť pre x: ; nájsť deriváciu funkcie; Príklad 1 ukazuje, že ak je teda funkcia spojitá a derivácia funkcie je v jednom bode tohto segmentu rovná nule, funkcia na uvažovanom segmente narastá. Označte ľavou hranicou segmentu: , že nerovnosť platí pre Dôkaz 1 Nech 2 ; 3, teda minimálny bod, je zároveň bod najmenšej hodnoty funkcie na 4 Nájdite hodnotu funkcie v bode: 5 Preto, teda na základe riešenia uvažovaných úloh, môžeme zostavte algoritmus (iii) na dokazovanie nerovností pomocou derivácie: 1 Uveďte nerovnosť do tvaru ;
12 12 2 Nájdite rozsah funkcie; 3 Preskúmajte funkciu pre monotónnosť a extrémy na alebo interval patriaci do 4 Predstavte 0 (na pravej strane nerovnosti) ako (); 5 Od nerovnosti k záveru: ak sa funkcia zvýši, potom; ak je funkcia klesajúca, potom; Podľa tohto algoritmu vykonáme nasledujúce úlohy: 4 Dokážte nerovnosť pre Dôkaz 1 Let; 2 3, ; 4 Nech 5 a podľa definície rastúcej funkcie máme tie Dokázané 5 Dokážte, že pre Dôkaz 1 Dopis; 2 3 keď máme; 4 Nech 5, budeme mať Dokázané, 6 Určte všetky hodnoty, pre ktoré 1 Let; 2
13 13 3, 4 At, at Preto maximálny bod funkcie; Pretože f(1)=0, potom f(x)0, x 1(1) táto nerovnosť je ekvivalentná nerovnici Vyriešte to tak, že tento výraz nahradíte znamienkom, ktoré sa s ním zhoduje Riešenie nerovníc a pri zohľadnení (1) a podmienok dostaneme definičný obor funkcie y = x z tento systém x (pri zohľadnení definičnej oblasti dostaneme odpoveď: riešenie tejto nerovnosti x Odpoveď: x
14 14 8 Je nerovnosť pravdivá? 1 Prepíšme túto nerovnosť v tvare:, 2 Uvažujme funkciu f(x) = x + cox Ak ju skúmame z hľadiska monotónnosti (, dostaneme, že funkcia sa zväčšuje pre x 3 Nech, potom sa nerovnosť ukázala ako pravdivá 8 Je 1 Vykonajte nejaké transformácie, 2 Nech , 3 pretože je vhodné uvažovať funkciu na intervale 4, keď máme; keď máme; to znamená, že bod je maximálny bod, a keďže tento bod je iba extrémny bod na intervale, je to zároveň bod, v ktorom funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu 5: pre 6 Teda tie Nerovnosť je pravdivá Na základe vyššie uvedených cvičení sformulujeme algoritmus (iv) na dôkaz numerických nerovností pomocou derivát čoho? dôkaz
15 15 Transformujte nerovnicu do tvaru:, 1 Uvažujme funkciu 2 Nech Od, potom uvažujme funkciu na intervale 3, 4, Na danom intervale Použite definíciu nárastu funkcie na danom intervale: Podobne ako pri predchádzajúcej, dostaneme:, Vynásobte výsledné nerovnosti: Dokázané 10Dokážte, že: a ) > ; b)? a) 1 Zoberme si logaritmus tejto nerovnosti: Poslednú nerovnosť reprezentujeme v tvare, kde, ; 2Nájdite deriváciu funkcie:)Preto pri 3Let aplikujte definíciu nárastu funkcie na danom intervale, dostaneme: b) 1Zoberme si logaritmus tejto nerovnosti: ;
16 16, 2 Znázornime nerovnosť v tvare, kde, 3 Nájdite deriváciu funkcie: Preto pri, pri 4 Použime definíciu funkcie klesajúcej na danom intervale:, 11 Čo je viac:? 1 Predpokladajme, že v tvare, kde, 2 Nájdite deriváciu funkcie Reprezentujme poslednú nerovnosť v:, teda v, v Keďže v x = e, funkcia klesá pre x 3 : 12 Čo je viac? 1 Predpokladajme, že 2, kde, ; Príklad 10b) ukazuje, že keď
17 17 preto funkcia klesá pre 3 Nech, Na danom intervale klesá, použijeme definíciu funkcie klesajúcej na danom intervale:, Predpoklad sa ukázal ako nesprávny Odpoveď: Je vhodné zvážiť iné spôsoby dôkaz a riešenie nerovníc Napríklad na dôkaz nerovnice 1 použite konvexnosť a konkávnosť funkcie a dotyčnicu ku grafu funkcie v bode (0;0) Na dôkaz nerovnice 2 môžete použiť grafy funkcií na ľavá a pravá strana nerovnosti a ich vlastnosti Na dôkaz nerovnosti 3 môžete použiť vlastnosť recipročných čísel: 12, môžete použiť techniku porovnávania každého výrazu s medzičíslom. Môžete ukázať, že a skutočne, >, (> Z čoho vyplýva, že Zadania pre samostatnú prácu: 1? 2 Koľko je viac ako 2tg1 èëè tg2? 3 Dokážte, že kedy, čo keď 5 Čo je viac: 6 Čo je viac:? 7 Vyriešte nerovnosť Literatúra 1Vilenkin, N Ya Ivashev MusatovOSIDR "Algebra začiatku analýzy"10 (hĺbkové štúdium matematiky) / IYA Vilenkin, - M: Vzdelávanie 2000 2Kolmogorov, Akadémia vied, Abramov AM, - a ďalšie "Algebra začiatku analýzy“ (učebnica pre triedy stredných škôl) / Akadémia vied Kolmogorov M: Osvietenstvo, Piryutko, ON Formovanie zovšeobecnených metód kognitívneho
18 18 aktivity / Piryutko ON// Narodnaya asveta -9, 2008С 32-40
19 19
Katedra matematiky a informatiky Matematická analýza Vzdelávací a metodický komplex pre študentov HPE študujúcich s využitím dištančných technológií Modul 4 Aplikácie derivátu Zostavil: doc.
Katedra matematiky a informatiky Základy vyššej matematiky Vzdelávací a metodický komplex pre študentov stredného odborného vzdelávania študujúcich dištančnými technológiami Modul Diferenciálny počet Zostavil:
Téma 39. "Derivácie funkcií" Funkcia derivácie funkcie v bode x 0 sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku premennej, teda = lim = lim + ( ) Tabuľka derivátov: Derivát
Funkcia Skúmanie funkcií a vykresľovanie. Vyšetrenie monotónnosti na intervale. f na intervale b neklesá, ak f f ; nezvyšuje sa, ak f f ; a je monotónne prísne rastúce, ak f f
Prednáška 9. Deriváty a diferenciály vyšších rádov, ich vlastnosti. Extrémne body funkcie. Fermatova a Rolleho veta. Nech je funkcia y diferencovateľná na niektorom segmente [b]. V tomto prípade jeho derivát
Vykresľovanie funkcií pomocou derivácie Metóda vykresľovania grafu funkcie podľa bodov nie je dokonalá. Ani výpočet súradníc veľkého počtu bodov nemusí poskytnúť presné znázornenie grafu, ale
1 SA Lavrenchenko Prednáška 10 Vyšetrovanie funkcie pomocou derivácií 1 Vyšetrovanie funkcie pomocou prvej derivácie Intervalom rozumieme buď konečný interval, alebo jeden z nasledujúcich
Ukážka základných MA úloh a otázok pre semester Limit postupnosti Jednoduchý výpočet limitu postupnosti l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Vypočítať limit postupnosti
MODUL 7 "Exponenciálne a logaritmické funkcie". Zovšeobecnenie pojmu titul. Koreň stupňa a jeho vlastnosti.. Iracionálne rovnice.. Stupeň s racionálnym exponentom.. Exponenciálna funkcia..
exponenciálne rovnice. Metódy riešenia. Dubova Maria Igorevna 7 78-57 Exponenciálna rovnica je rovnica, ktorá obsahuje premennú iba v exponente. Zvážte niekoľko typov exponenciálnych rovníc,
Prednáška Skúmanie funkcie a konštrukcia jej grafu Abstrakt: Funkcia sa skúma na monotónnosť, extrém, konvexnosť-konkávnosť, na existenciu asymptot
Aplikácia diferenciálneho počtu pri štúdiu funkcie Monotónnosť funkcie Lokálny extrém Konvexnosť Monotónnosť funkcie Def. Funkcia f x rastie na intervale (a, b), ak x 1, x 2 a,
Pravidlá derivácie a diferenciácie Nech je funkcia y = f inkrementovaná y f 0 f 0 zodpovedajúca inkrementu argumentu 0 Definícia Ak existuje limit na pomer inkrementu funkcie y k volajúcemu
MOSKVA ŠTÁTNA TECHNICKÁ UNIVERZITA CIVILNÉHO LETECTVA V.M. Lyubimov, E.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinov
Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie
Skúmanie funkcií pomocou derivácie. Zvyšovanie a znižovanie funkcií. Veta.) Ak má funkcia f) deriváciu na intervale a na tomto intervale je rastúca, potom jej derivácia na tomto intervale
Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie autonómna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania Národná
Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie SARATOV NÁRODNÁ VÝSKUMNÁ ŠTÁTNA UNIVERZITA
Konštrukcia grafov funkcií 1. Plán na štúdium funkcie pri vykresľovaní grafu 1. Nájdite definičný obor funkcie. Často je užitočné zvážiť viacero hodnôt funkcie. Preskúmajte špeciálne vlastnosti funkcie:
Prednáška 23 KONVEXNÝ A KONKÁVNY GRAF FUNKCIE ATRAMENTOVÉHO BODU Graf funkcie y \u003d f (x) sa nazýva konvexný na intervale (a; b), ak sa nachádza pod niektorou z jeho dotyčníc na tomto intervale. Graf
METODICKÉ POKYNY PRE VÝPOČTOVÉ ÚLOHY NA KURZU VYŠŠEJ MATEMATIKY "OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE SÉRIE DVOJINTÉ INTEGRÁLY" ČASŤ III TEMATICKÁ SÉRIA Obsah Séria Číselné rady Konvergencia a divergencia
Rôzne prístupy k riešeniu úloh C C C5 Jednotná štátna skúška 9-ročná príprava na jednotnú štátnu skúšku (materiál na prednášku pre učiteľov) Prokofiev AA [chránený e-mailom]Úlohy C Príklad (USE C) Vyriešte sústavu rovníc y si (si) (7 y)
Praktická práca Kompletné štúdium funkcie a vykreslenie grafu Účel: upevniť zručnosti skúmania funkcií a vykresľovania Vybavenie (prístroje, materiály, didaktická podpora): metodické
Sekcia Diferenciálny počet funkcií jednej a viacerých premenných Funkcia reálnych argumentov Reálne čísla Kladné celé čísla sa nazývajú prirodzené čísla Pridať k prirodzeným číslam
Praktická práca 6 Téma: „Úplné štúdium funkcií. Konštrukcia grafov „Cieľ práce: naučiť sa skúmať funkcie podľa všeobecnej schémy a vytvárať grafy. V dôsledku práce musí študent:
Požiadavky na úroveň prípravy žiakov v algebre a začiatky matematickej analýzy v 0. ročníku. Ako výsledok štúdia matematiky na hĺbkovej úrovni, dôležitosť matematickej vedy pre riešenie problémov,
S. shestakov, [chránený e-mailom], Moskva 9 tried. Pozri začiatok v, / 05 Riešenie nerovností
Kapitola 3. Skúmanie funkcií pomocou derivácií 3.1. Extrémy a monotónnosť Uvažujme funkciu y = f () definovanú na nejakom intervale I R. Hovorí sa, že má lokálne maximum v bode
VÝSKUM FUNKCIÍ Dostatočné podmienky pre rast a pokles funkcie: Ak je derivácia diferencovateľnej funkcie v nejakom intervale X kladná, potom na tomto intervale rastie.
0,5 Logaritmické rovnice a nerovnice. Použité knihy:. Algebra a začiatok analýzy 0 - upravil A.N. Kolmogorov. Nezávislé a kontrolné práce na algebre 0- editoval E.P. Ershov
Limity a kontinuita. Limita funkcie Nech je funkcia = f) definovaná v niektorom okolí bodu = a. Zároveň v samotnom bode a funkcia nie je nevyhnutne definovaná. Definícia. Číslo b sa nazýva limita
~ 1 ~ “Kritériá monotónnosti pre funkciu” x)
PRACOVNÝ PROGRAM PREDMETOVÉ VÝSLEDKY VZDELÁVANIA na predmete Algebra 1Plánované výsledky zvládnutia akademického predmetu POŽIADAVKY NA ÚROVEŇ PRÍPRAVY ŠTUDENTOV
VA Shilinets, docent, Katedra matematiky, Bieloruská štátna pedagogická univerzita ROVNICE A NEROVNOSTI S ARCHFUNKCIAMI Matematika sa vyučuje v procese riešenia problémov, medzi ktorými zohrávajú osobitnú úlohu výskumné problémy
Modul a derivácia V.V. Silvestrov Pri riešení niektorých problémov je potrebné nájsť deriváciu funkcie obsahujúcej jeden alebo viac modulov. Takéto úlohy sú možné aj na jednotnej štátnej skúške.
Ministerstvo školstva Bieloruskej republiky VZDELÁVACIA INŠTITÚCIA „ŠTÁTNA UNIVERZITA GRODNO POMENOVANÁ PO YANKA KUPALA“ Yu.Yu. Gnezdovský, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich EXPONENTIÁLNE A LOGARITMICKÉ
Sergei A Belyaev strana 1 Matematické minimum Časť 1 Teoretická 1 Je definícia správna Najmenší spoločný násobok dvoch celých čísel je najmenšie číslo, ktoré je deliteľné každým z daných čísel
Graf derivácie funkcie Intervaly monotónnosti funkcie Príklad 1. Na obrázku je graf y =f (x) derivácie funkcie f (x) definovanej na intervale (1;13). Nájdite intervaly rastúcej funkcie
Povolanie. Stupeň s ľubovoľným reálnym exponentom, jeho vlastnosti. Mocninná funkcia, jej vlastnosti, grafika.. Vybavte si vlastnosti stupňa s racionálnym exponentom. a a a a a pre prirodzené časy
I V Yakovlev Matematika MathUsru Logaritmické rovnice a nerovnice Logaritmické rovnice a nerovnice sú rovnice a nerovnice, v ktorých je premenná pod znamienkom
MODUL „Aplikácia kontinuity a derivácie. Aplikácia derivácie na štúdium funkcií. Aplikácia spojitosti.. Metóda intervalov.. Tangenta ku grafu. Lagrangeov vzorec. 4. Aplikácia derivátu
Lekcia 7 Vety o strednej hodnote. L'Hôpitalovo pravidlo 7. Vety o strednej hodnote Vety o strednej hodnote sú tri vety: Rolle, Lagrange a Cauchy, z ktorých každá zovšeobecňuje predchádzajúcu. Tieto vety sa tiež nazývajú
Praktická práca "Aplikácia derivácie na štúdium funkcií" Účel: upevniť a otestovať ZUN na štúdiu funkcií pomocou derivácie Vybavenie: písacie potreby, metodické
IV Yakovlev Materiály o matematike MathUs.ru Symetria v problémoch s parametrami Symetria je jedným z kľúčových pojmov matematiky a fyziky. Ste oboznámení s geometrickou symetriou postáv a vo všeobecnosti s rozmanitosťou
Vysvetlivka Tento pracovný program "Algebra a začiatky analýzy" bol vyvinutý na základe: - Federálneho zákona č. 273-FZ z 29. decembra 2012 (v znení zmien a doplnení z 13. júla 2015) "O vzdelávaní v Ruskej federácii" ;
Ministerstvo školstva Ruskej federácie Ruská štátna univerzita ropy a zemného plynu pomenovaná po I.M. Gubkina V.I. Ivanov S.I. Vasin Pokyny pre štúdium témy VÝSKUM FUNKCIÍ (pre
Lim 3 Derivácia funkcií 3 Derivácia funkcie Derivácia funkcie f v bode sa nazýva nasledujúca limita f f df f " d, kde f " a df d sú symboly derivácie Operácia nájdenia derivácie
Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia stredná škola 4 v Baltiysku
Výskumná práca Matematika "Aplikácia extrémnych vlastností funkcie na riešenie rovníc" Vypracovala: Elena Gudková, študentka 11. ročníka "G" MBOU strednej školy "Anninské lýceum" p.g.t. Anna Head:
1. Sformulujte a dokážte vetu o jednoznačnosti limity konvergentnej postupnosti. Veta (o jednoznačnosti limity). Postupnosť môže mať najviac jeden limit. Dôkaz. Nechať byť
PLÁNOVANIE TEMATICKÉHO KALENDÁRA Algebra a začiatok hodiny matematickej analýzy p / p p / t Téma hodiny Počet hodín Úvodné opakovanie 2 Odmocniny, stupne, logaritmy 2 2 Goniometrické funkcie, goniometrické
(intervaly monotónneho prírastku a poklesu funkcie - konvexnosť funkcie na intervale - inflexné body - asymptoty - vykreslenie grafu funkcie) Intervaly monotónneho prírastku a poklesu funkcie
Ministerstvo školstva Ruskej federácie Ruská štátna univerzita ropy a zemného plynu pomenovaná po I.M. Gubkina V.I. Ivanov S.I. Vasin Pokyny pre štúdium témy "VÝSKUM FUNKCIÍ"
Nakreslite funkciu y Definičný obor funkcie je interval (;0) (0;) Funkcia y je párna, pretože y() y() a () graf funkcie je symetrický podľa osi OY 3 Uvažujme správanie
KONCEPCIA DERIVAČNEJ FUNKCIE Nech máme funkciu definovanú na množine X a nech bod X je vnútorný bod, bod, pre ktorý existuje okolie X. Zoberme si ľubovoľný bod a označme ho ako tzv.
98 MATEMATIKA: ALGEBRA A ZAČIATKY ANALÝZY GEOMETRIE Riešenia rovníc na základe vlastností konvexnej funkcie Lipatov SV Kaluga MBOU "Lýceum 9 pomenované po KE Ciolkovskom" 0 trieda "A" Školiteľ:
P0 Derivácia Uvažujme nejakú funkciu f () v závislosti od argumentu Nech je táto funkcia definovaná v bode 0 a nejakom jej okolí, spojitá v tomto bode a jeho okolí
PREDNÁŠKY Z MATEMATICKEJ ANALÝZY PRE ŠTUDENTOV MOIAIS 1. SEMESTR OBČANSEV E.Yu. Kapitola 1 Štúdium funkcie jednej premennej 1.1 Znaky rastu a poklesu. Definícia. Funkcia f(x) je definovaná
Chlapci, v minulej lekcii sme sa naučili nové, špeciálne číslo e. Dnes budeme pokračovať v práci s týmto číslom. Študovali sme logaritmy a vieme, že základom logaritmu môže byť množina čísel
Skúmanie funkcií a konštrukcia grafov Teoretický materiál Obsah 1) Oblastný obor funkcie 2) Vlastnosti funkcie (párne, nepárne, periodicita) 4) Priesečníky funkcie s osami
BBK 22.161 NOVÝ PRÍSTUP V METÓDE Skúmania FUNKCIÍ PRE ZNÍŽENIE A ZVÝŠENIE A.D. Štátny pedagogický ústav Novikov Armavir, Armavir Kľúčové slová a frázy: zvýšenie
Diferenciálny počet Základné pojmy a vzorce Definícia 1 Derivácia funkcie v bode sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu za predpokladu, že prírastok argumentu
Federálna agentúra pre vzdelávanie Moskovská štátna univerzita geodézie a kartografie (MIIGAiK) METODICKÉ POKYNY A ÚLOHY PRE SAMOSTATNÚ PRÁCU na kurze VYŠŠIA MATEMATIKA
PRACOVNÝ PROGRAM ALGEBRA A ZAČIATOK MATEMATICKEJ ANALÝZY 11. ROČNÍK Základný stupeň Vyučovanie matematiky na základnej škole v akademickom roku 2018/2019 určujú tieto regulačné dokumenty: -
Algebraické rovnice, kde Definícia. Algebraické je rovnica tvaru 0, P () 0, niektoré reálne čísla. 0 0 V tomto prípade sa premenná nazýva neznáma a volajú sa čísla 0
Katedra matematiky a informatiky Základy vyššej matematiky Vzdelávací a metodický komplex pre študentov stredného odborného vzdelávania študujúcich pomocou dištančných technológií Modul Teória limitov Spracoval: doc.
Prednášky 7-9 Kapitola 7 Skúmanie funkcie 7 Zvyšovanie a znižovanie funkcie Veta o monotónnosti funkcie Ak f (na intervale (a; b, tak na tomto intervale funkcia f (rastie) Ak f (na intervale
APLIKÁCIA DERIVÁTU NA ŠTÚDIUM FUNKCIÍ Štúdium správania sa funkcie pomocou derivácií Intervaly monotónnosti. Definícia extrémov. Intervaly, v ktorých funkcia f (x) rastie (klesá),
Wwwfmclassru METÓDY POROVNANIE ČÍSEL Analýza veličín, použitie vzorcov cos0 a si 40
Dôkaz totožnosti sa niekedy dá dosiahnuť použitím jednej zjavnej poznámky:
Ak sa na niektorom intervale funkcia rovná konštante, potom jej derivácia na tomto intervale je konštantne rovná nule:
na 
na 
.
Úloha 1. Skontrolujte identitu:
Vypočítame jeho deriváciu (podľa X):
Preto (poznámka) 
. v dôsledku toho 
čo je ekvivalentné s identitou (1).
Úloha 2. Skontrolujte identitu:
(2)
Dôkaz: Zvážte funkciu
Dokážme to 
Poďme nájsť jeho derivát:
Prostriedky 
.
o x=0
, teda identita (2) je pravdivá.
V súvislosti s uvažovanými príkladmi možno poznamenať, že pri hľadaní konštanty, integrácie OD je užitočné fixovať hodnoty premennej, vzhľadom na ktorú sa robí diferenciácia, tak, aby sa získali čo najjednoduchšie výpočty.
9.3. Aplikácia derivácie na zjednodušenie algebraických a goniometrických výrazov.
Metóda použitia derivácie na transformáciu algebraických a goniometrických výrazov je založená na skutočnosti, že derivácia má niekedy oveľa jednoduchší tvar ako pôvodná funkcia, vďaka čomu je ľahko integrovateľná, čo umožňuje nájsť požadovanú transformáciu originálu. výraz:
Úloha 1 Zjednodušte výraz:
Riešenie: Označuje tento výraz 
bude mať:
Daný výraz (1) sa teda rovná 
.
Úloha 2. Zjednodušte výraz:
Riešenie: Označenie tohto výrazu cez 
, bude mať:
a pri 
dostaneme:
Takže
Úloha 3. Zjednodušte písanie funkcií:
Riešenie: Použitie obvyklého trigonometrického aparátu povedie k pomerne ťažkopádnym výpočtom. Tu je pohodlnejšie použiť derivát:
Odtiaľ 
Poďme nájsť 
:
Funkcia (2) sa teda rovná 
Úloha 4. Zjednodušte písanie polynómu:
Riešenie: Označte polynóm (3) cez 
a nájdite postupne prvú a druhú deriváciu tejto funkcie:
To je jasné 
Preto 
, kde 
, Nájsť 
: o 
,
.
9.4 Rozklad výrazu na faktory pomocou derivácie.
Úloha 1. Faktor výrazu:
Riešenie: Počítanie 
variabilné a 
A 
konštanta pevná (parametre) a označujúca daný výraz cez 
, bude mať:
Preto (2)
kde 
- stály, t.j. v tomto prípade výraz v závislosti od parametrov 
A 
. Na nájdenie 
v rovnosti 
dajme tomu 
potom 
.
Získajte 
Úloha 2. Faktor výrazu:
Riešenie: Keďže premenná 
vstupuje do tohto výrazu v najmenšej miere, považujte ho za funkciu 
a budeme mať:
dostaneme:
Pôvodný výraz (3) sa teda rovná 
Úloha 3. Zvážte výraz:
Riešenie: Označenie tohto výrazu cez 
a počítanie 
A 
konštantná, dostaneme:
odkiaľ, kam 
závisí len od 
A 
. Vloženie tejto identity 
, dostaneme 
A
Na faktorizáciu druhého faktora používame rovnakú techniku, ale považujeme ju za premennú 
, keďže táto premenná je zahrnutá v menšej miere ako 
. Označuje to cez 
a počítanie 
A 
konštantné, budeme mať:
Pôvodný výraz (4) sa teda rovná
9.5. Aplikácia derivácie v otázkach existencie koreňov rovníc.
Deriváciou možno určiť, koľko riešení má rovnica. Hlavnú úlohu tu zohráva štúdium funkcií pre monotónnosť, hľadanie jej extrémnych hodnôt. Okrem toho sa používa vlastnosť monotónnych funkcií:
Úloha 1. Ak funkcia 
zvyšuje alebo znižuje v určitom intervale, potom na tomto intervale rovnica 
má najviac jeden koreň.
Riešenie: Oblasťou tejto rovnice je interval 
definícia tejto intervalovej funkcie 
, uvedenie
Potom, na 
,
a tým aj funkciu 
- rastúce, takže táto rovnica (1) nemôže mať viac ako jedno riešenie.
Úloha 2. Pri akých hodnotách 
má riešenia rovnice
Riešenie: doménou rovnice je segment 
, zvážte funkciu 
, uvedenie
Potom na otvorenom intervale 
, takže je to jediný kritický bod funkcie 
, čo je zjavne maximálny bod. Pokiaľ ide o 
potom 
bude mať najväčšiu hodnotu pri 
, a najmenšia hodnota - at 
.
Od funkcie 
je spojitý, potom jeho rozsah hodnôt je segment 
medzi jeho najmenšou a najväčšou hodnotou. Inými slovami, pôvodná rovnica (2) má riešenia pre 
.
Derivát je široko používaný pri riešení množstva problémov v elementárnej matematike. Z celej škály takýchto úloh vyberáme tie, na riešenie ktorých sa používa Lagrangeova veta a jej dôsledky. Patria sem úlohy na dokazovanie identít, nerovností, odvodzovanie trigonometrických vzorcov, faktorizácia algebraických výrazov, riešenie rovníc, nerovníc, sústav rovníc, rovníc s parametrami. V tomto prípade je možné uviesť všeobecné metódy riešenia a niektoré konkrétne metódy.
Lagrangeova veta. Nech je funkcia f spojitá na úsečke a diferencovateľná vo vnútorných bodoch tejto úsečky. Potom je tu vnútorný bod z tohto segmentu taký, že.
Dôsledok 1 (konštantná podmienka) . Ak je funkcia f na segmente spojitá a jej derivácia je v tomto segmente rovná nule, potom je funkcia f na segmente konštantná.
Dôsledok 2. Ak sú funkcie a spojité na segmente a majú v tomto segmente rovnaké derivácie, potom sa líšia iba v konštantnom člene.
Podmienka monotónnosti funkcie je tiež dôsledkom Lagrangeovej vety. V školskej učebnici je ustanovená samostatne formou vety.
Dôsledok 3 ( stav monotónnosti). Ak je funkcia f spojitá na intervale I a jej derivácia je kladná (resp. záporná) vo vnútorných bodoch tohto intervalu, potom funkcia f na I rastie (resp. klesá).
Lagrangeovu vetu možno použiť:
Pri dokazovaní nerovností najmä - číselné nerovnosti;
Pri skúmaní otázky koreňov polynómu alebo rovnice;
Pri riešení rovníc.
V procese riešenia takýchto úloh sa zavedie do úvahy funkcia f(x) na segmente, ktorá spĺňa podmienky Lagrangeovej vety, a napíše sa pre ňu Lagrangeov vzorec., c (a;b) a f'(c) a následne aj výraz, čo nám umožňuje dokázať uvažovanú nerovnosť alebo vyriešiť problém koreňov polynómu, rovnice.
Príklad 1. Dokážte to.
Riešenie. Funkcia f(x)=arccosx na segmente je spojitá a diferencovateľná na intervale (0,6;0,8),. Preto sú pre funkciu f(x) na tomto segmente splnené podmienky Lagrangeovej vety a, kde 0,6
Príklad 2. Dokážte, že e x >=ex.
Riešenie. Nerovnosť platí pre x=1. Uvažujme funkciu f(x)=e x -ex. Potom pre ľubovoľné číslo b (b>1) pre túto funkciu sú splnené podmienky Lagrangeovej vety na segmente a pre b, t.j.. Pretože c>1 s b>1, potom e c >e a teda e c -e>0. Potom, a teda e b -eb>0, t.j. e b >eb pre ľubovoľné b>1. Je teda dokázané, že e x >=ex pre x>=1.
Ak b, t.j. od, z toho vyplýva, že e b -eb>0, t.j. eb >eb.
Je teda dokázané, že nerovnosť e x >= ex platí pre každé reálne x. Konkrétne pre x=c+1 dostaneme e c+1 >=e(c+1), t.j. e c >=c+1, kde c je ľubovoľné reálne číslo.
Príklad 3. Dokážte, že rovnicanemá žiadne skutočné pozitívne korene.
Riešenie. Nech b je ľubovoľné kladné číslo. Zvážte funkciu f(x)=
, spojité na intervale a majúce deriváciuna intervale (0;b). Podľa Lagrangeovej vety máme,
0
Príklad 4. Dokážte, že na intervale (0, 2) sú najviac dva rôzne reálne korene rovnice.
Riešenie. Predpokladajme, že rovnica má aspoň tri rôzne reálne korene x 1 , x 2 , x 3 patriace do intervalu (0,2) a nech x 1
Poďme nájsť deriváciu f'(x):
. Pretožepre ľubovoľné x potom rovnica f’(x)=0 má jeden koreň x= patriaci do intervalu (0, 2). Dostali sme sa do rozporu, keďže c 1 a c 2 (c 1 c 2) sú koreňmi rovnice f’(x)=0, čím sa dokazuje, že rovnicamá najviac dva rôzne reálne korene na intervale (0,2).
Príklad 5. Riešte rovnicu x 9 -9x 5 +63x-55=0.
Riešenie. Je ľahké vidieť, že číslo x 1 \u003d 1 je koreňom tejto rovnice. Predpokladajme, že existuje ešte aspoň jeden skutočný koreň x 2 odlišný od x 1 . Čísla x 1 a x 2 sú nuly funkcie f(x)=x 9 -9x 5 +63x-55, a teda f(x 1)=f(x 2)=0. Aplikujme Lagrangeovu vetu na funkciu f(x) na intervale, ak x 1
Určte počet kritických bodov funkcie y \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9).
Riešenie. Keďže stupeň polynómu f (x) \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9) je 5, potom jeho derivát f '(x) je polynóm štvrtého stupňa a nemá viac ako štyri skutočné korene. Aplikujme Lagrangeovu vetu na funkciu f(x)=(x+1)(x-1)x(x-8)(x-9) na intervaloch [-1;0], , , a vezmime do úvahy že f(-1)=f(0)=f(1)=f(8)=f(9)=0. Na každom takomto segmente sú vnútorné body x 1 , x 2 , x 3 , x 4 tak, že, , , , t.j. f'(x1)=0, f'(x2)=0, f'(x3)=0, f'(x4)=0. A vzhľadom na to, že x 1, x 2, x 3, x 4 sú rôzne korene polynómu f'(x) štvrtého stupňa, dospejeme k záveru, že neexistujú žiadne iné korene okrem tých získaných, a preto funkcia y = (x 2 - 1) (x 2 -8x) (x-9) má štyri kritické body.
Podmienku monotónnosti pre funkciu možno použiť:
Pri riešení nerovností;
Pri dokazovaní nerovností s premennou;
Pri dokazovaní číselných nerovností;
Pri skúmaní otázky počtu koreňov rovnice;
V niektorých prípadoch pri riešení rovníc, rovníc s parametrami, sústavy rovníc.
Riešenie úloh pomocou podmienky monotónnosti je založené na vzťahu medzi prírastkom alebo poklesom funkcie a znamienkom jej derivácie za určitý interval. Zároveň sa porovnaním rôznych hodnôt argumentu z tohto intervalu uvažovanej monotónnej funkcie urobí záver o zodpovedajúcich hodnotách tejto funkcie.
Príklad 7. Dokážte, že 3xcosx
Riešenie. Dokážme, že ak 0
Vzhľadom na to, že f(0)=0, budeme mať tgx-3x+2sinx>0. A keďže medzitýmcosx>0, potom cosx(tgx+2sinx-3x)>0. Je teda dokázané, že sinx+sin2x-3xcosx>0, teda že 3xcosx
Príklad 8. Dokážte to
1) Aak 0 2) A, ak napr
Riešenie. Uvažujme funkciu spojitú na intervale (0;+). Od jeho derivátusa rovná nule pri x=e a pri 0 Ostatné dôsledky Lagrangeovej vety možno použiť: pri preukazovaní totožnosti, najmä pri odvodzovaní vzorcov elementárnej matematiky; Pri zjednodušovaní výrazov; Pri rozklade algebraických výrazov na faktory. Pri riešení viacerých takýchto úloh na určitom intervale sa uvažuje buď s jednou funkciou f(x), a to tak, že jej derivácia f’(x)=0 a teda funkcia je konštantná, t.j. má tvar f(x)=c alebo dve funkcie f(x) a g(x), takže f'(x)=g'(x), a z toho vyplýva, že f(x)=g(x )+c (c je konštanta). Táto konštanta sa zistí, ak sa x rovná nejakej hodnote x 1 . Príklad 12. Odvoďte vzorec. Riešenie. Funkcia f(x)=priebežne na celom číselnom rade. Nájdite deriváciu tejto funkcie f'(x)=2sinxcosx-sin2x=sin2x-sin2x. f'(x)=0 pre akúkoľvek reálnu hodnotu x, preto na základe podmienky nemennosti funkcie môžeme usúdiť, že funkcia f(x) je konštantná, t.j. f(x)=c. Na určenie konštanty c dáme x=0 a dostaneme f(0)=c, t.j. sin 2 0-0,5+0,5cos0=c. Teda c=0 a teda f(x)=0, z čoho dostávame=0, alebo. Príklad 13. Dokážte, že arctgx=arcsinpri x
Riešenie. Uvažujme dve funkcie f(x)=arctgx a g(x)=arcsin spojité na intervale (-;0], potom sú spojité na ľubovoľnom intervale . Poďme nájsť deriváty týchto funkcií. , . Keďže pre xa potom f'(x)=g'(x) vnútri segmentu . Na základe Dôsledku 2 máme f(x)=g(x)+c, kde c je konštanta. Aby sme definovali c, povedzme x=-1, čo dáva arctg(-1)=arcsin, t.jTakže dostaneme arctgx=arcsinpri x
Derivát je široko používaný pri riešení množstva problémov v elementárnej matematike. Z celej škály takýchto úloh vyberáme tie, na riešenie ktorých sa používa Lagrangeova veta a jej dôsledky. Patria sem úlohy na dokazovanie identít, nerovností, odvodzovanie trigonometrických vzorcov, faktorizácia algebraických výrazov, riešenie rovníc, nerovníc, sústav rovníc, rovníc s parametrami. V tomto prípade je možné uviesť všeobecné metódy riešenia a niektoré konkrétne metódy. Lagrangeova veta. Nech je funkcia f spojitá na úsečke a diferencovateľná vo vnútorných bodoch tejto úsečky. Potom je tu vnútorný bod z tohto segmentu taký, že.
Dôsledok 1 (konštantná podmienka) .
Ak je funkcia f na segmente spojitá a jej derivácia je v tomto segmente rovná nule, potom je funkcia f na segmente konštantná. Dôsledok 2. Ak sú funkcie a spojité na segmente a majú v tomto segmente rovnaké derivácie, potom sa líšia iba v konštantnom člene. Podmienka monotónnosti funkcie je tiež dôsledkom Lagrangeovej vety. V školskej učebnici je ustanovená samostatne formou vety. Dôsledok 3 ( stav monotónnosti). Ak je funkcia f spojitá na intervale I a jej derivácia je kladná (resp. záporná) vo vnútorných bodoch tohto intervalu, potom funkcia f na I rastie (resp. klesá). Lagrangeovu vetu možno použiť: Pri dokazovaní nerovností najmä - číselné nerovnosti; Pri skúmaní otázky koreňov polynómu alebo rovnice; Pri riešení rovníc. V procese riešenia takýchto úloh sa zavedie do úvahy funkcia f(x) na segmente, ktorá spĺňa podmienky Lagrangeovej vety, a napíše sa pre ňu Lagrangeov vzorec., c (a;b) a f'(c) a následne aj výraz, čo nám umožňuje dokázať uvažovanú nerovnosť alebo vyriešiť problém koreňov polynómu, rovnice. Príklad 1. Dokážte to. Riešenie. Funkcia f(x)=arccosx na segmente je spojitá a diferencovateľná na intervale (0,6;0,8),. Preto sú pre funkciu f(x) na tomto segmente splnené podmienky Lagrangeovej vety a, kde 0,6 Príklad 2. Dokážte, že e x >=ex. Riešenie. Nerovnosť platí pre x=1. Uvažujme funkciu f(x)=e x -ex. Potom pre ľubovoľné číslo b (b>1) pre túto funkciu sú splnené podmienky Lagrangeovej vety na segmente a pre b, t.j.. Pretože c>1 s b>1, potom e c >e a teda e c -e>0. Potom, a teda e b -eb>0, t.j. e b >eb pre ľubovoľné b>1. Je teda dokázané, že e x >=ex pre x>=1. Ak b, t.j. od, z toho vyplýva, že e b -eb>0, t.j. eb >eb. Je teda dokázané, že nerovnosť e x >= ex platí pre každé reálne x. Konkrétne pre x=c+1 dostaneme e c+1 >=e(c+1), t.j. e c >=c+1, kde c je ľubovoľné reálne číslo. Príklad 3. Dokážte, že rovnicanemá žiadne skutočné pozitívne korene. Riešenie. Nech b je ľubovoľné kladné číslo. Zvážte funkciu f(x)=
, spojité na intervale a majúce deriváciuna intervale (0;b). Podľa Lagrangeovej vety máme,
0 Príklad 4. Dokážte, že na intervale (0, 2) sú najviac dva rôzne reálne korene rovnice. Riešenie. Predpokladajme, že rovnica má aspoň tri rôzne reálne korene x 1 , x 2 , x 3 patriace do intervalu (0,2) a nech x 1 Poďme nájsť deriváciu f'(x): . Pretožepre ľubovoľné x potom rovnica f’(x)=0 má jeden koreň x= patriaci do intervalu (0, 2). Dostali sme sa do rozporu, keďže c 1 a c 2 (c 1 c 2) sú koreňmi rovnice f’(x)=0, čím sa dokazuje, že rovnicamá najviac dva rôzne reálne korene na intervale (0,2). Príklad 5. Riešte rovnicu x 9 -9x 5 +63x-55=0. Riešenie. Je ľahké vidieť, že číslo x 1 \u003d 1 je koreňom tejto rovnice. Predpokladajme, že existuje ešte aspoň jeden skutočný koreň x 2 odlišný od x 1 . Čísla x 1 a x 2 sú nuly funkcie f(x)=x 9 -9x 5 +63x-55, a teda f(x 1)=f(x 2)=0. Aplikujme Lagrangeovu vetu na funkciu f(x) na intervale, ak x 1 Určte počet kritických bodov funkcie y \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9). Riešenie. Keďže stupeň polynómu f (x) \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9) je 5, potom jeho derivát f '(x) je polynóm štvrtého stupňa a nemá viac ako štyri skutočné korene. Aplikujme Lagrangeovu vetu na funkciu f(x)=(x+1)(x-1)x(x-8)(x-9) na intervaloch [-1;0], , , a vezmime do úvahy že f(-1)=f(0)=f(1)=f(8)=f(9)=0. Na každom takomto segmente sú vnútorné body x 1 , x 2 , x 3 , x 4 tak, že,
,
,
, t.j. f'(x1)=0, f'(x2)=0, f'(x3)=0, f'(x4)=0. A vzhľadom na to, že x 1, x 2, x 3, x 4 sú rôzne korene polynómu f'(x) štvrtého stupňa, dospejeme k záveru, že neexistujú žiadne iné korene okrem tých získaných, a preto funkcia y = (x 2 - 1) (x 2 -8x) (x-9) má štyri kritické body. Podmienku monotónnosti pre funkciu možno použiť: Pri riešení nerovností; Pri dokazovaní nerovností s premennou; Pri dokazovaní číselných nerovností; Pri skúmaní otázky počtu koreňov rovnice; V niektorých prípadoch pri riešení rovníc, rovníc s parametrami, sústavy rovníc. Riešenie úloh pomocou podmienky monotónnosti je založené na vzťahu medzi prírastkom alebo poklesom funkcie a znamienkom jej derivácie za určitý interval. Zároveň sa porovnaním rôznych hodnôt argumentu z tohto intervalu uvažovanej monotónnej funkcie urobí záver o zodpovedajúcich hodnotách tejto funkcie. Príklad 7. Dokážte, že 3xcosx Riešenie. Dokážme, že ak 0 Vzhľadom na to, že f(0)=0, budeme mať tgx-3x+2sinx>0. A keďže medzitýmcosx>0, potom cosx(tgx+2sinx-3x)>0. Je teda dokázané, že sinx+sin2x-3xcosx>0, teda že 3xcosx Príklad 8. Dokážte to 1) Aak 0 2) A, ak napr
Riešenie. Uvažujme funkciu spojitú na intervale (0;+). Od jeho derivátusa rovná nule pri x=e a pri 0 Ostatné dôsledky Lagrangeovej vety možno použiť: pri preukazovaní totožnosti, najmä pri odvodzovaní vzorcov elementárnej matematiky; Pri zjednodušovaní výrazov; Pri rozklade algebraických výrazov na faktory. Pri riešení viacerých takýchto úloh na určitom intervale sa uvažuje buď s jednou funkciou f(x), a to tak, že jej derivácia f’(x)=0 a teda funkcia je konštantná, t.j. má tvar f(x)=c alebo dve funkcie f(x) a g(x), takže f'(x)=g'(x), a z toho vyplýva, že f(x)=g(x )+c (c je konštanta). Táto konštanta sa zistí, ak sa x rovná nejakej hodnote x 1 . Príklad 12. Odvoďte vzorec. Riešenie. Funkcia f(x)=priebežne na celom číselnom rade. Nájdite deriváciu tejto funkcie f'(x)=2sinxcosx-sin2x=sin2x-sin2x. f'(x)=0 pre akúkoľvek reálnu hodnotu x, preto na základe podmienky nemennosti funkcie môžeme usúdiť, že funkcia f(x) je konštantná, t.j. f(x)=c. Na určenie konštanty c dáme x=0 a dostaneme f(0)=c, t.j. sin 2 0-0,5+0,5cos0=c. Teda c=0 a teda f(x)=0, z čoho dostávame=0, alebo. Príklad 13. Dokážte, že arctgx=arcsinpri x
Riešenie. Uvažujme dve funkcie f(x)=arctgx a g(x)=arcsin spojité na intervale (-;0], potom sú spojité na ľubovoľnom intervale . Poďme nájsť deriváty týchto funkcií. , . Keďže pre xa potom f'(x)=g'(x) vnútri segmentu . Na základe Dôsledku 2 máme f(x)=g(x)+c, kde c je konštanta. Aby sme definovali c, povedzme x=-1, čo dáva arctg(-1)=arcsin, t.jTakže dostaneme arctgx=arcsinpri x
Príklad 14. Dokážte totožnosť Riešenie. Všimni si, pre akékoľvek reálne x a funkciu,
priebežne na celom číselnom rade. Máme, . 1) Uvažujme funkciu F(x)=f(x)+g(x), x (-;-1) (0;1). F(x)=a F'(x)=f'(x)+g'(x)=. Ak x (-;-1), potom |x 2 -1|=x 2 -1, |x|=-x a F’(x)=0. Ak x (0;1), potom |x 2 -1|=-(x 2 -1), |x|=x a F'(x)=0. Na základe podmienky stálosti funkcie F(x)=c, t.j.. Na každom z uvažovaných intervalov definujeme c nastavením napríklad x =a x=. , teda c=. , teda c=0. Máme:pre x (-;-1),pre x(0;1). 2) Uvažujme funkciu G(x)=f(x)-g(x), x (-1;0) (1; +). , . Ak x (-1; 0), potom |x 2 -1|=-(x 2 -1), |x|=-x a G'(x)=0. Ak x (1; +), potom |x 2 -1|=x 2 -1, |x|=x a G'(x)=0. Potom je funkcia G(x) konštantná na zadaných intervaloch, t.j.. Nech x=a x=, dostaneme, teda c=;, potom c=0. Máme:pri x (-1; 0),pre x (1;+). 3) Vypočítajte hodnoty f(x) a g(x) pre x=± 1 a x=0. f(-1)=arccos(-1)=, g(-1)=arcsin0=0; teda pre x=-1 f(x)=+g(x), t.j.. , , teda pri x=0 f(x)=-g(x), t.j.. f(1)=arccos1=0, g(1)=arcsin0=0, teda pri x= 1 f(x)=g(x), t.j.. Táto identita je teda dokázaná pre všetky reálne x. Príklad 15. Faktorizácia výrazu y2(x-z)+x2(z-y)+z2(y-x). Riešenie. Na tento výraz sa pozrieme ako na funkciu premennej x: f (x) \u003d y 2 (x-z) + x 2 (z-y) + z 2 (y-x). Nájdite f'(x). f'(x)=y 2 +2x(zy)-z 2 =y 2 -z 2 -2x(yz)=(yz)(y+z)-2x(yz)=(yz)(y+z- 2x). g'(x)=(y-z)((y+z)-2x). Ako funkciu g(x) môžeme vziať g(x)=(y-z)((y-z)x-x 2). Keďže funkcie f(x) a g(x) sú spojité a diferencovateľné na celej reálnej čiare a f'(x)=g'(x), potom podľa Dôsledku 2 f(x)=g(x)+c, kde nezávisí od x, ale možno závisí od y a z. Máme y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x)=(y-z)((y+z)x-x2)+c. Nájdite c tak, že do tejto rovnosti nastavíme napríklad x=0. Máme yz 2 -zy 2 =c. Potom f(x)=g(x)+yz2-zy2, t.j. f(x)=(yz)((y+z)xx 2)+yz 2 -zy 2 =(yz)(xy+xz-x 2)-yz(yz)=(yz)(xy-x 2 + xz-yz)=(yz)(x(yx)-z(yx))=(yz)(yx)(xz). Takže y2(x-z)+x2(z-y)+z2(y-x)=(y-z)(y-x)(x-z).