Rezolvarea inegalităților folosind derivata. Folosind derivata pentru a rezolva ecuații, demonstrați și rezolvați inegalitățile. Material pentru activități extracurriculare. Factorizarea unei expresii folosind o derivată
Содержание статьи
1.3. Utilizarea derivatei în rezolvarea ecuațiilor
Să arătăm cum, cu ajutorul derivatei, se pot rezolva problemele existenței rădăcinilor ecuației și, în unele cazuri, căutarea acestora. Ca și până acum, rolul principal îl va avea aici studiul funcției pentru monotonitate, găsirea valorilor sale extreme. În plus, vor fi utilizate o serie de proprietăți ale funcțiilor monotone și continue.
Proprietatea 1. Dacă funcția f crește sau scade pe un anumit interval, atunci pe acest interval ecuația f(x)=0 are cel mult o rădăcină.
Această afirmație decurge direct din definiția funcțiilor crescătoare și descrescătoare. Rădăcina ecuației f(x)=0 este egală cu abscisa punctului de intersecție a graficului funcției y=f(x) cu axa x.
Proprietatea 2. Dacă o funcție f este definită și continuă pe un interval și ia valori de diferite semne la capetele sale, atunci între a și b există un punct c la care f(c)=0.
Problema 1.12. rezolva ecuatia
Observați care este rădăcina ecuației. Să demonstrăm că această ecuație nu are alte rădăcini. Studiem funcția f, unde 
, pentru monotonitate. Derivat 
. Să stabilim intervalele la care funcția își păstrează semnul. Pentru a face acest lucru, îl examinăm pentru monotonitate. Derivat 
. Din moment ce pentru , apoi pentru . Prin urmare, funcția este în creștere pentru valorile pozitive ale lui x; . Prin urmare, la . Deoarece funcția este pară, este nevoie de valori pozitive pentru toate. Prin urmare, f crește pe întreaga dreaptă numerică. Conform proprietății 1, ecuația are cel mult o rădăcină. Deci, este singura rădăcină a ecuației.
Problema 1.13. Rezolvați un sistem de ecuații 
Sistemul este echivalent cu următorul: 
Din prima ecuație rezultă că , din a doua - . Exprimăm din prima ecuație x în termeni de y: , . Apoi 
. punând, primim 
sau 
. Derivata functiei f, unde , este egala cu . este negativ pentru toate valorile lui t. Astfel, funcția f este descrescătoare. Prin urmare, ecuația are cel mult o rădăcină. Observați care este rădăcina sa. Deci, singura soluție a sistemului.
Problema 1.14. Demonstrați că ecuația are o rădăcină unică situată în intervalul .
Ecuația este redusă prin transformări echivalente la forma , unde 
. Funcția f crește deoarece 
Cu toti . Conform proprietății 1, ecuația are cel mult o soluție. Funcția f este continuă, în plus, 
, . Datorită proprietății 2, ecuația de pe interval are rădăcină.
În problema 3, a fost necesar să se demonstreze că rădăcina ecuației aparține unui anumit interval. Am folosit proprietatea 2 a unei funcții continue pe un segment care ia valori de diferite semne la capetele acestui segment. Această cale nu duce întotdeauna la obiectiv atunci când rezolvăm astfel de probleme. Uneori este oportun să folosiți următoarea proprietate a funcțiilor diferențiabile.
Proprietatea 3 (teorema lui Rolle). Dacă funcția f este continuă pe intervalul , diferențiabilă pe intervalul (a,b) și f(a)=f(b), atunci există un punct astfel încât .
În limbajul geometric, proprietatea 3 înseamnă următoarele: dacă , atunci pe graficul curbei există un punct C cu coordonate , unde tangenta la grafic este paralelă cu axa x.
Problema 1.15. Demonstrați că ecuația pentru , are cel mult o rădăcină reală.
Să presupunem că ecuația are cel puțin două rădăcini și . Funcția f, unde este diferențiabilă pe întreaga linie reală. pentru că 
, atunci conform proprietății 3, derivata sa pe interval are rădăcină. Cu toate acestea, pentru , ecuația nu are soluții. Contradicția obținută arată că ecuația nu poate avea mai mult de o rădăcină.
Problema 1.16. Demonstrați că polinomul , ,
Are cel mult n rădăcini.
Conform proprietății 3, între două rădăcini ale unui polinom se află cel puțin o rădăcină a derivatei sale. Prin urmare, dacă polinomul f(x) are rădăcini distincte, atunci derivata sa trebuie să aibă cel puțin (k-1) rădăcini. În același mod - cel puțin k-2 rădăcini etc., derivata a n-a - cel puțin (k-n) rădăcini, . Acest lucru este imposibil deoarece este o constantă diferită de zero.
Problema 1.17. Demonstrați că polinomul are o rădăcină între 0 și 1 ().
Aplicarea proprietății 2 țintei nu rezultă, deoarece . Se consideră funcția g, unde . Pentru aceasta, funcția f este o derivată. Din moment ce, atunci, conform proprietății 3, pentru unii 
.
Problema 1.18. Demonstrați că ecuația 
nu are rădăcini reale.
Lasa 
, apoi 
. Dacă x este rădăcina ecuației, atunci , i.e. funcţia f, datorită continuităţii sale, scade în vecinătatea fiecărei rădăcini. Rețineți că dacă ecuația are rădăcini, atunci acestea sunt negative. Se știe că un polinom de gradul al n-lea nu are mai mult de n rădăcini. Notează prin - cea mai mare dintre rădăcini. Apoi există astfel încât . Deoarece , atunci intervalul trebuie să conțină rădăcina x a polinomului f(x). a primit o contradicție.
Se consideră o ecuație de forma , unde f, g sunt reciproc inverse, funcțiile crescătoare având aceleași domenii de definiție. Să arătăm că această ecuație este echivalentă cu ecuația . (3)
Într-adevăr, fie a rădăcina ecuației (3), adică. . Având în vedere că domeniul funcției g coincide cu mulțimea de valori a funcției f și invers, putem scrie: 
, sau , adică , și este rădăcina ecuației .
Dimpotrivă, să , dar . Apoi sau . primul caz. Același lucru este valabil și pentru al doilea caz.
Astfel, a fost obținută o metodă particulară de transformare echivalentă a ecuațiilor.
Problema 1.19. Rezolvați ecuația.
Să rescriem această ecuație sub forma 
. Funcţie 
este continuă, crescătoare (ca suma a două funcții crescătoare și ), deci are inversă. Să-l găsim: 
, 
. Deci inversul lui f este funcția 
, care coincide cu partea dreaptă a ecuației. Pe baza celor de mai sus, ecuația este echivalentă cu ecuația 
. Este clar că aceasta este rădăcina ecuației. Asigurați-vă că ecuația nu are alte rădăcini. 
Ipoteza formulată trebuia să rezolve următoarele sarcini: 1. Să identifice rolul ecuațiilor și inegalităților trigonometrice în predarea matematicii; 2. Să elaboreze o metodologie de formare a deprinderilor de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, vizând dezvoltarea reprezentărilor trigonometrice; 3. Verificați experimental eficacitatea metodologiei dezvoltate. Pentru solutii...
Punctele axei de coordonate. Lecția numărul 4. Tema: Metoda analitică. Metoda ramurilor. Scopul lecției: introducerea elevilor în metoda de bază de rezolvare a ecuațiilor care conțin un parametru. Citirea profesorului: Vezi , , , , Citirea elevilor: Vezi rezumatul: O privire asupra diferitelor valori pe care le poate lua un parametru. Simplificarea ecuației și aducerea ecuației la produs...
În algebră și începuturile analizei, în pregătirea pentru certificarea finală de stat, evaluare externă independentă. Un număr suficient de mare de probleme relevă posibilitățile potențiale de analiză a cantităților infinitezimale. 1. Derivata si aplicatia ei pentru rezolvarea problemelor aplicate 1.1 Informatii istorice O serie de probleme de calcul diferential au fost rezolvate in antichitate. S-au întâlnit la...
Teorema de mai sus mărturisește importanța estimărilor a priori pentru a demonstra existența și teoremele de unicitate pentru soluții. Capitolul 2. Exemplu de aplicare 1. Considerăm o ecuație integrală cu un parametru real mic λ: (1) Aceasta este o ecuație de forma А()х = у() – o ecuație de operator în С[-π; π], unde Să arătăm că A() este analitic la punctul 0, adică, descompuse într-o serie de specii. Să defalcăm funcția...
Dimensiune: px
Începeți impresia de pe pagină:
transcriere
1 1 Utilizarea derivatei pentru rezolvarea ecuațiilor, demonstrarea și rezolvarea inegalităților Material pentru clasele opționale Piryutko ON - Profesor asociat al Departamentului de Matematică și Metode de Predare a Matematicii al BSPU, Kovgorenya LV - Masterand al Departamentului de Matematică și Metode de Predare Matematica Universității Pedagogice de Stat din Belarus În mod tradițional, în manualele școlare, utilizarea derivatei se referă la semnificația sa fizică și geometrică, cercetarea și reprezentarea grafică a funcțiilor, rezolvarea problemelor de optimizare Articolul oferă materiale despre utilizarea derivatei pentru rezolvarea ecuațiilor, inegalităților. , dovadă a inegalităților care poate fi folosită în clasele opționale, este indicat, alături de manualele existente, folosirea manualelor pentru clasele cu studiu aprofundat al matematicii Utilizarea derivatei pentru rezolvarea ecuațiilor (lectia 1) Obiective educaționale: formarea deprinderilor rezolvarea ecuațiilor f(x)=0 prin examinarea funcției f(x) folosind derivata; să formeze abilitățile de demonstrare a existenței unei rădăcini, a unicității rădăcinii unei ecuații date cu ajutorul unei derivate Obiective de dezvoltare: să dezvolte capacitatea de a aplica metode de generalizare și concretizare la aplicarea algoritmilor de rezolvare a ecuațiilor; să predea folosirea analogiei, comparației, comparației, clasificării, la alegerea uneia sau alteia metode de rezolvare a ecuațiilor Obiective educaționale: să cultive acuratețea, claritatea și consistența în rezolvarea problemelor; de a-și forma capacitatea de a-și planifica propria activitate educațională și cognitivă Repetarea principalelor prevederi teoretice Determinarea creșterii (scăderii) unei funcții pe un interval dat Funcția crește (descrește) pe un interval dat, dacă pt.
2 2 orice puncte și din intervalul care satisface condiția inegalitatea este adevărată Adică Funcțiile crescătoare descrescătoare crescătoare sau descrescătoare pe I se numesc monotone pe I Criteriu suficient pentru funcția de creștere Dacă > 0 în fiecare punct al intervalului I, atunci funcţia creşte cu I Criteriu suficient pentru funcţia descrescătoare Dacă
3 3 pare posibilă sau duce la transformări greoaie Dacă se poate demonstra că ecuația nu are alte rădăcini decât cele găsite, atunci problema se rezolvă. , analizând „convenient” pentru calcularea rădăcinii valorii variabilei x, că rădăcina acestei ecuaţii Să demonstrăm că această rădăcină este unică, folosind proprietăţile de monotonitate ale funcţiei 1 Să scriem această ecuaţie sub forma: 2 Fie; 3; 4, pe întregul domeniu al definiției 5 Deoarece funcția crește cu, ecuația nu are mai mult de o rădăcină Prin urmare, rădăcina selectată este singura rădăcină a acestei ecuații Răspuns: Să formulăm algoritmi pentru rezolvarea problemelor de acest tip Algoritm (I ) pentru rezolvarea ecuațiilor folosind o derivată: »pentru a calcula valoarea unei variabile, rădăcina ecuației 2Aduceți ecuația la forma; 3Găsiți domeniul funcției 4Investigați funcția pentru monotonitate pe sau intervale care aparțin; 5Dacă funcția crește (descrește) pe intervalul luat în considerare, atunci trageți o concluzie despre unicitatea rădăcinii găsite a ecuației pe acest interval Algoritmul (II) pentru determinarea numărului de rădăcini ale ecuației: 1 Aduceți ecuația la formă; 2 Găsiți domeniul de aplicare al funcției;
4 4 3 Investigați funcția pentru monotonitate pe sau intervale aparținând lui 4 Dacă este posibil, verificați semnele valorilor funcției la capetele segmentului din D(f); 5 Concluzi: o dacă în interiorul intervalului (), atunci există cel mult o valoare astfel încât; o dacă pe interval (și atunci există o valoare unică astfel încât Rezolvați următoarele ecuații folosind algoritmul 2 Rezolvați ecuația 1 Determinați că rădăcina acestei ecuații este 2 Această ecuație se va reduce la forma: 3 ; =0 4 pe întregul domeniu de definiție (Rețineți că) 5 Deoarece funcția crește cu, atunci rădăcina găsită a ecuației este singurul răspuns: 3 Rezolvați ecuația 1 Determinăm că rădăcina acestei ecuații este 2 Această ecuație se va reduce la forma : =0;; 3
5 5 Rețineți că funcția este pară, deci este și rădăcina acestei ecuații.De aceea, este suficient să dovedim că funcția este monotonă pe jumătate de interval; 4 pe; 5Deoarece funcția scade pe jumătate de interval, ecuația, din cauza uniformității funcției, nu are alte rădăcini decât, Răspuns: 4 Rezolvați ecuația 1 Rețineți că rădăcinile acestei ecuații sunt valorile 2 Această ecuație va se reduce la forma: Întrucât funcția este pară, este suficient să demonstrăm că este monotonă pe jumătate de interval; 4 pe jumătate de interval; 5 Deoarece funcția crește pe jumătate de interval, ecuația, datorită parității, nu are alte rădăcini decât din Răspuns: 5 Demonstrați că ecuația are o singură rădăcină Să folosim algoritmul II pentru demonstrație ; Observa asta,
6 6 3, 4Deoarece derivata dispare într-un singur punct, din 5, atunci pentru x avem creștere Prin urmare, ecuația are o singură rădăcină, puteți vedea că această rădăcină este 6 Rezolvați ecuația 1 este rădăcina acesteia ecuaţie; 2; 3 D 4 La 5 Deoarece funcția crește pe jumătate de interval, ecuația nu are alte rădăcini decât x=1 Răspuns: 7 Rezolvați ecuația 1 Determinăm că rădăcina acestei ecuații este 2 ; 3D; 4 Funcția este pară*, deci este și rădăcină. Rețineți că x=0 nu este o rădăcină a acestei ecuații Să arătăm că funcția este monotonă pe intervalul de pe intervalul , nu are alta
7 7 *Dovada parității: 1) relativ la zero 2) Domeniul funcției este simetric 8 Rezolvați ecuația Se poate observa că rădăcina acestei ecuații este 1 Fie; 2 Funcția este pară și periodică cu perioada principală Prin urmare, soluțiile ecuației vor fi și ele, Vom arăta că ecuația nu are alte rădăcini. Astfel, este suficient să ne asigurăm că funcția este monotonă, de exemplu, pe intervalul 3 ca, atunci Așa că funcția crește pe intervalul specificat 4. Prin urmare, rădăcinile ecuației vor fi numai, Răspuns:, 9 Rezolvați ecuația. Determinăm că rădăcina acestei ecuații este valoarea lui variabila 1 Fie; 2 Rețineți că funcția este pară și periodică cu o perioadă principală.De aceea, soluțiile ecuației vor fi, de asemenea, Să arătăm că ecuația nu are alte rădăcini
8 8 Este suficient să vă asigurați că funcția din intervalul 3 este monotonă pe intervalul specificat, funcția este în creștere 4 Rezultă că rădăcinile ecuației vor fi, Răspuns:, Trebuie menționat că sarcinile propuse pot fi se rezolvă fără a folosi derivata.Este indicat să se ia în considerare și să discute cu elevii alte metode ale soluțiilor lor Să dăm soluții scurte ale unor ecuații folosind alte abordări 1 Rețineți că pentru x>0, funcția y= x 2 +9 crește, scade , crește, crește Prin urmare, valoarea acestuia din urmă, egală cu 24, se ia cel mult pentru o valoare a argumentului. Prin urmare, valoarea aleasă x=4 este singura soluție a acestei ecuații rădăcina acestei ecuații este 3 Să facem înlocuirea:, atunci soluția ecuației este redusă la soluția sistemului (t + k \u003d 4, k 4 + t 4 =82 Să aducem a doua ecuație la forma: Din această ecuație găsim tk=3 sau tk=29 Rezolvarea sistemelor (t+k=4, kt=3; (t+k=4, kt=29, obținem t=1, k=3 sau t=3, k=1 Înlocuind în (1), obținem x=
9 9 4 Observând că cu fiecare rădăcină x 0 numărul - x 0 este și rădăcina ecuației, îl rezolvăm pentru x>0 Deschizând parantezele și factorizând partea stângă a ecuației în factori, obținem: prin urmare, aceasta ecuația este pe interval Luați în considerare următoarele sarcini: 1Demonstrați că pentru Dovada Luați în considerare funcția pe interval; Să o examinăm pentru monotonitate, de unde rezultă că funcția este în scădere pentru și
11 11 Notăm prin limita stângă a segmentului: Apoi, datorită funcției descrescătoare pe segment, prin definirea unei funcții descrescătoare pentru tot x din acest segment, obținem sau 2 investigarea funcției de monotonitate pentru x: ; găsiți derivata funcției; Exemplul 1 arată că, prin urmare, atunci când funcția este continuă pe și derivata funcției este egală cu zero într-un punct al acestui segment, prin urmare, funcția crește pe segmentul luat în considerare.Notați prin limita stângă a segmentului: , că inegalitatea este valabilă pentru Demonstraţia 1 Fie 2 ; 3, la Deci punctul minim, este și punctul celei mai mici valori a funcției pe 4 Aflați valoarea funcției în punctul: 5 Prin urmare, căci, adică Pe baza soluției problemelor luate în considerare, putem alcătuiți un algoritm (iii) pentru demonstrarea inegalităților folosind derivata: 1 Aduceți inegalitatea la forma ;
12 12 2 Găsiți domeniul de aplicare al funcției; 3 Investigați funcția pentru monotonitate și extremă sau intervalul aparținând lui 4 Reprezentați 0 (pe partea dreaptă a inegalității) ca (); 5 Din inegalitate pentru a concluziona: dacă funcția crește, atunci; dacă funcția este în scădere, atunci; Conform acestui algoritm, vom efectua următoarele sarcini: 4 Demonstrați inegalitatea pentru Demonstrația 1 Fie; 2 3, ; 4 Fie 5 și prin definiția funcției crescătoare avem, cele Dovedite 5 Demonstrează că pentru Demonstrația 1 Fie; 2 3 când avem; 4 Fie 5, vom avea Demonstrat, 6 Determinați toate valorile pentru care 1 Fie; 2
13 13 3, 4 La, la Prin urmare, punctul maxim al funcției; Deoarece f(1)=0, atunci f(x)0, x 1(1) această inegalitate este echivalentă cu inegalitatea Rezolvați-o prin înlocuirea acestei expresii cu un semn care coincide cu ea Rezolvând inegalități și, ținând cont de (1) și de condiții, obținem domeniul funcției y = x a acest sistem x (ținând cont de domeniul definiției, obținem răspunsul: soluția acestei inegalități x Răspuns: x
14 14 8 Este inegalitatea adevărată? 1 Să rescriem această inegalitate sub forma:, 2 Să considerăm funcția f(x) = x + cox Investigand-o pentru monotonitate (, obținem că funcția crește pentru x 3 Fie, atunci Inegalitatea sa dovedit a fi adevărată 8 Este inegalitatea adevărată? 1 Efectuați unele transformări, 2 Fie , 3 deoarece, este indicat să luăm în considerare funcția pe intervalul 4, Când avem; când avem; adică punctul este punctul maxim și întrucât acest punct este punctul numai punctul extremum al intervalului, este și punctul în care funcția ia cea mai mare valoare 5: pentru 6Astfel, cei Prin urmare, inegalitatea este adevărată Pe baza exercițiilor de mai sus, formulăm un algoritm (iv) pentru demonstrarea inegalităților numerice folosind derivatul ce?dovada
15 15 Transformați inegalitatea în forma:, 1 Se consideră funcția 2 Fie Deoarece, atunci se consideră funcția pe intervalul 3, 4, Pe intervalul dat Folosiți definiția creșterii funcției pe intervalul dat: Similar cu precedenta, obtinem:, Inmultim inegalitatile rezultate: Demonstrat 10Demonstrati ca: a ) > ; b)? a) 1 Să luăm logaritmul acestei inegalităţi: Reprezentăm ultima inegalitate sub forma, unde, ; 2Aflați derivata funcției:)De aceea, la, la 3Să, Aplicați definiția creșterii funcției pe intervalul dat, obținem: b) 1Să luăm logaritmul acestei inegalități: ;
16 16, 2 Să reprezentăm inegalitatea sub forma, unde, 3 Aflați derivata funcției: Prin urmare, la, la 4 Fie, Folosiți definiția funcției descrescătoare pe intervalul dat:, 11 Ce mai este:? 1 Să presupunem că, sub forma, unde, 2 Să aflăm derivata funcţiei Să reprezentăm ultima inegalitate în:, deci, la, la Deoarece la x = e, atunci funcţia scade pentru x 3 : 12 Ce mai? 1 Să presupunem că 2, unde, ; Exemplul 10b) arată că atunci când
17 17, prin urmare, funcția scade pentru 3 Fie, Pe un interval dat, scade, folosim definiția unei funcții descrescătoare pe un interval dat:, Presupunerea s-a dovedit a fi greșită Răspuns: Este recomandabil să luăm în considerare alte moduri de demonstrarea și rezolvarea inegalităților De exemplu, pentru a demonstra inegalitatea 1, folosiți convexitatea și concavitatea funcției și tangenta la graficul funcției în punctul (0;0) Pentru a demonstra inegalitatea 2, puteți folosi graficele funcțiilor de pe laturile stânga și dreapta ale inegalității și proprietățile lor Pentru a demonstra inegalitatea 3, puteți folosi proprietatea numerelor reciproce: 12, puteți folosi tehnica de a compara fiecare expresie cu un număr intermediar. Puteți demonstra că, și într-adevăr, >, (> De unde rezultă că Sarcini pentru munca independentă: 1? 2 Ce este mai mult decât 2tg1 èëè tg2? 3 Demonstrați că atunci când și dacă 5 Ce este mai mult: 6 Ce este mai mult:? 7 Rezolvați inegalitatea Literatură 1Vilenkin, N Ya Ivashev MusatovOSIDR „Algebra începutului analizei”10 (studiu aprofundat al matematicii) / IYA Vilenkin, - M: Educație 2000 2Kolmogorov, Academia de Științe, Abramov AM, - și alții „Algebra începutului de analiză" (manual pentru clasele de liceu) / Academia de Științe Kolmogorov M: Enlightenment, Piryutko, ON Formarea metodelor generalizate de cognitiv
18 18 activități / Piryutko ON// Narodnaya asveta -9, 2008С 32-40
19 19
Departamentul de Matematică și Informatică Analiză Matematică Complex educațional și metodologic pentru studenții HPE care studiază cu utilizarea tehnologiilor la distanță Modulul 4 Aplicații ale derivatei Alcătuit de: Conf. univ.
Departamentul de Matematică și Informatică Elemente de Matematică Superioară Complex educațional și metodologic pentru studenții din învățământul secundar profesional care învață folosind tehnologii la distanță Modulul Calcul diferențial Alcătuit de:
Subiectul 39. „Derivate de funcții” Funcția derivatei unei funcții în punctul x 0 se numește limita raportului dintre creșterea funcției și creșterea variabilei, adică = lim = lim + ( ) Tabel de derivate: Derivată
Funcție Explorarea funcțiilor și reprezentarea grafică. Investigarea monotonității pe un interval. f pe intervalul b nu scade dacă f f ; nu crește dacă f f ; a este monoton strict crescător dacă f f
Cursul 9. Derivate și diferențiale de ordin superior, proprietățile lor. Punctele extreme ale funcției. teoremele lui Fermat și Rolle. Fie funcția y diferențiabilă pe un anumit segment [b]. În acest caz, derivatul său
Trasarea funcțiilor utilizând derivata Metoda de a reprezenta un grafic al unei funcții după puncte nu este perfectă. Chiar și calcularea ordonatelor unui număr mare de puncte poate să nu ofere o reprezentare precisă a graficului, dar,
1 SA Lavrenchenko Curs 10 Investigarea unei funcții folosind derivate 1 Investigarea unei funcții folosind derivata întâi Prin interval înțelegem fie un interval finit, fie unul dintre următoarele
Exemplu de probleme de bază MA și întrebări pentru limita de secvență semestrială Simplu Calculați limita de secvență l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Calculați limita de secvență
MODULUL 7 „Funcții exponențiale și logaritmice”. Generalizarea conceptului de grad. Rădăcina gradului și proprietățile sale.. Ecuații iraționale.. Gradul cu exponent rațional.. Funcție exponențială..
ecuații exponențiale. Metode de rezolvare. Dubova Maria Igorevna 7 78-57 O ecuație exponențială este o ecuație care conține o variabilă numai în exponent. Luați în considerare mai multe tipuri de ecuații exponențiale,
Prelegere Investigarea unei funcții și construcția graficului acesteia Rezumat: Funcția este investigată pentru monotonitate, extremum, convexitate-concavitate, pentru existența asimptotelor
Aplicarea calculului diferenţial în studiul unei funcţii Monotonicitatea unei funcţii Extremul local Convexitatea Monotonitatea unei funcţii Def. Funcția f x crește pe intervalul (a, b) dacă x 1, x 2 a,
Reguli derivate și de diferențiere Fie ca funcția y = f să fie incrementată y f 0 f 0 corespunzătoare incrementului argumentului 0 Definiție Dacă există o limită a raportului de creștere a funcției y față de apelant
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE STAT DE AVIIAȚIE CIVILĂ MOSCOVA V.M. Lyubimov, E.A. Jukova, V.A. Uhova, Yu.A. Şurinov
Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse
Investigarea funcţiilor cu ajutorul unei derivate. Funcții de creștere și scădere. Teoremă.) Dacă o funcție f) are o derivată pe un interval și este în creștere pe acest interval, atunci derivata ei pe acest interval
Ministerul Educației și Științei din Federația Rusă instituție de învățământ autonomă de învățământ profesional superior Național
Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse UNIVERSITATEA NAȚIONALĂ DE CERCETARE DE STAT SARATOV
Construirea graficelor de funcții 1. Planificarea studiului unei funcții la trasarea unui grafic 1. Aflați domeniul funcției. Este adesea util să luați în considerare mai multe valori ale unei funcții. Explorați proprietățile speciale ale unei funcții:
Cursul 23 CONVEX ȘI CONCAV AL GRAFULUI FUNCȚIEI PUNCTULUI DE CERNEALĂ Graficul funcției y \u003d f (x) se numește convex pe intervalul (a; b) dacă este situat sub oricare dintre tangentele sale pe acest interval. Grafic
INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE PENTRU SARCINI DE CALCUL LA CURSUL DE MATEMATICĂ SUPERIOR „SERIA DE ECUAȚII DIFERENȚIALE ORDINARĂ INTEGRALE DUBLE” PARTEA III SERIE TEMATICĂ Cuprins Seria Serie numerică Convergență și divergență
Abordări diferite pentru rezolvarea problemelor C C C5 Examen de stat unificat 9 ani Pregătirea pentru examenul de stat unificat (material pentru o prelegere pentru profesori) Prokofiev AA [email protected] Sarcini C Exemplu (UTILIZARE C) Rezolvați sistemul de ecuații y si (si) (7 y)
Lucrare practică Studiul complet al funcției și trasarea unui grafic Scop: consolidarea abilităților de cercetare a funcțiilor și de trasare Echipamente (dispozitive, materiale, suport didactic): metodologic
Secțiune Calcul diferențial al funcțiilor uneia și mai multor variabile Funcția argument real Numere reale Numerele întregi pozitive se numesc numere naturale Adăugați la numerele naturale
Lucrare practică 6 Tema: „Studiul complet al funcţiilor. Construcția graficelor ”Scopul lucrării: să învețe să exploreze funcții conform unei scheme generale și să construiască grafice. Ca urmare a lucrării, studentul trebuie:
Cerințe pentru nivelul de pregătire a elevilor la algebră și începuturile analizei matematice din clasele 0. Ca urmare a studierii matematicii la un nivel aprofundat, importanța științei matematice pentru rezolvarea problemelor,
S. Shestakov, [email protected], Moscova 9 clase. Vedeți începutul în, / 05 Rezolvați inegalitățile
Capitolul 3. Investigarea funcţiilor cu ajutorul derivatelor 3.1. Extreme și monotonitate Se consideră o funcție y = f () definită pe un interval I R. Se spune că are un maxim local în punctul
CERCETAREA FUNCȚIILOR Condiții suficiente pentru creșterea și scăderea unei funcții: Dacă derivata unei funcții diferențiabile este pozitivă în interiorul unui interval X, atunci crește pe acest interval Dacă
0.5 Ecuații și inegalități logaritmice. Cărți uzate:. Algebra și începutul analizei 0 - editat de A.N.Kolmogorov. Lucrări independente și de control pe algebră 0- editată de E.P. Ershov
Limite și continuitate. Limita unei funcții Fie definită funcția = f) într-o vecinătate a punctului = a. În același timp, chiar în punctul a, funcția nu este neapărat definită. Definiție. Numărul b se numește limită
~ 1 ~ „Criterii de monotonitate pentru o funcție” x)
REZULTATELE ÎNVĂȚĂRII SUBIECTULUI PROGRAM DE LUCRU pe tema Algebră 1Rezultatele planificate ale însușirii disciplinei academice CERINȚE PENTRU NIVELUL DE PREGĂTIRE A ELEVILOR
VA Shilinets, Profesor asociat, Departamentul de Matematică, Universitatea Pedagogică de Stat din Belarus ECUAȚII ȘI INEGALITATI CU ARCHFUNCȚII Matematica este predată în procesul de rezolvare a problemelor, printre care problemele de cercetare joacă un rol deosebit
Modulul și derivata V.V. Silvestrov La rezolvarea unor probleme, trebuie să găsim derivata unei funcții care conține unul sau mai multe module. Astfel de sarcini sunt posibile și la examenul de stat unificat.
Ministerul Educației al Republicii Belarus INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT „UNIVERSITATEA DE STAT GRODNO DENUMITĂ DUPĂ YANKA KUPALA” Yu.Yu. Gnezdovsky, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich EXPONENTIAL SI LOGARITMMIC
Serghei A Belyaev pagina 1 Minimum matematic Partea 1 Teoretică 1 Definiția este corectă Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi este cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele date
Graficul derivatei unei funcţii Intervale de monotonitate a unei funcţii Exemplul 1. În figura se prezintă un grafic y =f (x) al derivatei funcţiei f (x) definită pe intervalul (1;13). Aflați intervalele funcției crescătoare
Ocupaţie. Gradul cu exponent real arbitrar, proprietățile sale. Funcția de putere, proprietățile sale, grafica .. Amintiți-vă proprietățile unui grad cu un exponent rațional. a a a a a pentru vremuri naturale
I V Yakovlev Materiale de matematică MathUsru Ecuații și inegalități logaritmice Ecuațiile și inegalitățile logaritmice sunt ecuații și inegalități în care variabila se află sub semn
MODULUL „Aplicarea continuității și derivatei. Aplicarea derivatei la studiul funcţiilor. Aplicarea continuitatii.. Metoda intervalelor.. Tangenta la grafic. Formula Lagrange. 4. Aplicarea derivatei
Lecția 7 Teoreme ale valorii medii. Regula lui L'Hôpital 7. Teoreme ale valorii medii Teoreme ale valorii medii sunt trei teoreme: Rolle, Lagrange și Cauchy, fiecare dintre acestea o generalizează pe cea anterioară. Aceste teoreme se mai numesc
Lucrare practică „Aplicarea derivatei la studiul funcțiilor” Scop: consolidarea și testarea ZUN privind studiul funcțiilor utilizând derivatul Echipament: papetărie, metodologic
IV Yakovlev Materiale de matematică MathUs.ru Simetria în probleme cu parametrii Simetria este unul dintre conceptele cheie ale matematicii și fizicii. Sunteți familiarizat cu simetria geometrică a figurilor și, în general, diverse
Notă explicativă Acest program de lucru „Algebra și începuturile analizei” a fost elaborat pe baza: - Legii federale nr. 273-FZ din 29 decembrie 2012 (modificată la 13 iulie 2015) „Cu privire la educația în Federația Rusă” ;
Ministerul Educației al Federației Ruse Universitatea de Stat Rusă de Petrol și Gaze numită după I.M. Gubkina V.I. Ivanov S.I. Vasin Ghid pentru studiul temei CERCETAREA FUNCȚILOR (pentru
Lim 3 Diferențierea funcțiilor 3 Derivata unei funcții Derivata unei funcții f într-un punct se numește următoarea limită f f df f " d, unde f " și df d sunt simboluri ale derivatei Operația de găsire a derivatei
Instituție de învățământ bugetar municipal școala secundară 4 din Baltiysk
Lucrare de cercetare Matematică „Aplicarea proprietăților extreme ale unei funcții pentru rezolvarea ecuațiilor” Completată de: Elena Gudkova, elevă clasa a 11-a „G” MBOU gimnaziu „Anninsky Lyceum” p.g.t. Anna Head:
1. Formulați și demonstrați o teoremă privind unicitatea limitei unei secvențe convergente. Teorema (cu privire la unicitatea limitei). O secvență poate avea cel mult o limită. Dovada. Lasa
PLANIFICAREA CALENDARULUI TEMATIC Algebra și începutul analizei matematice clasa p / p p / t Tema lecției Numărul de ore Repetare introductivă 2 Rădăcini, grade, logaritmi 2 2 Funcții trigonometrice, trigonometrice
(intervale de creștere și scădere monotonă a unei funcții - convexitatea unei funcții pe interval - puncte de inflexiune - asimptote - reprezentarea graficului unei funcții) Intervale de creștere și scădere monotonă a unei funcții
Ministerul Educației al Federației Ruse Universitatea de Stat Rusă de Petrol și Gaze numită după I.M. Gubkina V.I. Ivanov S.I. Vasin Ghid pentru studiul temei „CERCETAREA FUNCȚILOR”
Trasează funcția y Domeniul funcției este intervalul (;0) (0;) Funcția y este pară, deoarece y() y() și () graficul funcției este simetric față de axa OY 3 Considerați comportamentul
CONCEPTUL DE FUNCȚIE DERIVATĂ Să avem o funcție definită pe o mulțime X și să fie un punct X un punct interior, punctul pentru care există o vecinătate a lui X. Luați orice punct și notați-l prin se numește
98 MATEMATICĂ: ALGEBRA ȘI ÎNCEPUTUL ANALIZEI GEOMETRIE Rezolvarea ecuațiilor bazate pe proprietățile unei funcții convexe Lipatov SV Kaluga MBOU „Liceul 9 numit după KE Ciolkovski” 0 Clasa „A” Supraveghetor:
P0 Derivată Se consideră o funcție f () în funcție de argument Fie această funcție definită în punctul 0 și o parte din vecinătatea ei, continuă în acest punct și vecinătatea ei
PRELEȚII DE ANALIZĂ MATEMATICĂ PENTRU ELEVII MOIAIS CETĂȚENII SEMESTRUL I E.Yu. Capitolul 1 Studiul funcției unei variabile 1.1 Semne de creștere și scădere. Definiție. Funcția f(x) definită
Băieți, în ultima lecție am învățat un număr nou, special e. Astăzi vom continua să lucrăm cu acest număr. Am studiat logaritmii și știm că baza logaritmului poate fi un set de numere
Investigarea funcțiilor și construcția graficelor Material teoretic Cuprins 1) Domeniul funcției 2) Proprietățile funcției (par, impar, periodicitate) 4) Puncte de intersecție a funcției cu axele
BBK 22.161 O NOUĂ ABORDARE ÎN METODĂ DE INVESTIGARE A FUNCȚIUNILOR DE SCĂDERARE ȘI CREȘTERE A.D. Institutul Pedagogic de Stat Novikov Armavir, Armavir Cuvinte și expresii cheie: creștere
Calcul diferențial Concepte și formule de bază Definiție 1 Derivata unei funcții într-un punct se numește limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, cu condiția ca incrementul argumentului
Agenția Federală pentru Educație Universitatea de Stat de Geodezie și Cartografie din Moscova (MIIGAiK) INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE ȘI SARCINI PENTRU MUNCĂ INDEPENDENTĂ la cursul MATEMATICĂ SUPERIORĂ
PROGRAMA DE LUCRU DE ALGEBRA SI ÎNCEPUTUL ANALIZEI MATEMATICĂ CLASA a XI-a Nivel de bază Predarea matematicii în școala de bază în anul universitar 2018/2019 este determinată de următoarele acte normative: -
Ecuații algebrice unde Definiție. Algebric este o ecuație de forma 0, P () 0, unele numere reale. 0 0 În acest caz, variabila se numește necunoscută, iar numerele 0 sunt numite
Departamentul de Matematică și Informatică Elemente de Matematică Superioară Complex educațional și metodologic pentru studenții din învățământul secundar profesional care învață folosind tehnologii la distanță Modulul Teoria limitelor Alcătuit de: Conf. univ.
Prelegeri 7-9 Capitolul 7 Investigarea unei funcții 7 Creșterea și scăderea unei funcții Teorema privind monotonitatea unei funcții Dacă f (pe intervalul (a; b, atunci pe acest interval funcția f (crește) Dacă f (pe intervalul
APLICAREA DERIVAVULUI LA STUDIUL FUNCŢIILOR Studiul comportării unei funcţii cu ajutorul derivatelor Intervale de monotonitate. Definiția extremelor. Intervalele la care funcția f (x) crește (descrește),
Wwwfmclassru METODE DE COMPARAREA NUMĂRULUI Analiza cantităților, utilizarea formulelor cos0 și si 40
Dovezile de identitate pot fi uneori obținute folosind o remarcă evidentă:
Dacă într-un anumit interval o funcție este identic egală cu o constantă, atunci derivata ei pe acest interval este constant egală cu zero:
pe 
pe 
.
O sarcină 1. Verificați identitatea:
Calculăm derivata ei (prin X):
Prin urmare (notă) 
. Prin urmare, 
care este echivalent cu identitatea (1).
O sarcină 2. Verificați identitatea:
(2)
Dovada: Luați în considerare funcția
Să demonstrăm asta 
Să-i găsim derivata:
Mijloace 
.
La x=0
, prin urmare, identitatea (2) este adevărată.
În legătură cu exemplele luate în considerare, se poate observa că la găsirea constantei, integrarea DIN este util să se fixeze valorile variabilei față de care se face diferențierea în așa fel încât să se obțină calcule cât mai simple.
9.3. Aplicarea derivatei pentru simplificarea expresiilor algebrice și trigonometrice.
Metoda de utilizare a derivatei pentru transformarea expresiilor algebrice și trigonometrice se bazează pe faptul că derivata are uneori o formă mult mai simplă decât funcția originală, datorită căreia este ușor de integrat, ceea ce vă permite să găsiți transformarea dorită a originalului. expresie:
Sarcina 1 Simplificați expresia:
Soluţie: Desemnând această expresie 
vom avea:
Astfel, expresia dată (1) este egală cu 
.
Sarcina 2. Simplificați expresia:
Soluţie: Notând această expresie prin 
, vom avea:
iar la 
primim:
Asa de
O sarcină 3. Simplificați scrierea funcției:
Soluție: Utilizarea aparatului obișnuit de trigonometrie va duce la calcule relativ greoaie. Aici este mai convenabil să folosiți derivatul:
De aici 
Sa gasim 
:
Astfel, funcția (2) este egală cu 
O sarcină 4. Simplificați scrierea polinomului:
Rezolvare: Notați polinomul (3) prin 
și găsiți succesiv prima și a doua derivată ale acestei funcții:
Este clar că 
De aceea 
, Unde 
, găsi 
: la 
,
.
9.4 Descompunerea unei expresii în factori folosind o derivată.
O sarcină 1. Factorizați expresia:
Soluție: numărare 
variabilă și 
Și 
constantă fixă (parametri) și notând expresia dată prin 
, vom avea:
Prin urmare (2)
Unde 
- constantă, adică în acest caz, o expresie în funcție de parametri 
Și 
. Pentru găsire 
în egalitate 
sa punem 
apoi 
.
obține 
O sarcină 2. Factorizați expresia:
Rezolvare: Din moment ce variabila 
intră în această expresie în cea mai mică măsură, consideră-o ca o funcție 
si vom avea:
primim:
Astfel, expresia originală (3) este egală cu 
O sarcină 3. Factorizați expresia:
Rezolvare: Notând această expresie prin 
și numărând 
Și 
constantă, obținem:
de unde, de unde 
depinde doar de 
Și 
. Punerea în această identitate 
, primim 
Și
Pentru factorizarea celui de-al doilea factor, folosim aceeași tehnică, dar considerăm ca o variabilă 
, deoarece această variabilă este inclusă într-o măsură mai mică decât 
. Indicând-o prin 
și numărând 
Și 
constantă, vom avea:
Astfel, expresia originală (4) este egală cu
9.5. Aplicarea derivatei în chestiunile de existență a rădăcinilor ecuațiilor.
Derivata poate fi folosită pentru a determina câte soluții are o ecuație. Rolul principal îl joacă aici studiul funcțiilor pentru monotonitate, găsirea valorilor sale extreme. În plus, proprietatea funcțiilor monotone este utilizată:
O sarcină 1. Dacă funcţia 
crește sau scade într-un anumit interval, apoi pe acest interval ecuația 
are cel mult o rădăcină.
Rezolvare: Domeniul acestei ecuații este intervalul 
definiție pe această funcție de interval 
, punând
Apoi 
,
si astfel functia 
- crescător, astfel încât această ecuație (1) nu poate avea mai multe soluții.
O sarcină 2. La ce valori 
are soluții la ecuație
Rezolvare: domeniul ecuației este un segment 
, luați în considerare funcția 
, punând
Apoi pe intervalul deschis 
, deci acesta este singurul punct critic al funcției 
, care este evident punctul maxim. În măsura în care 
apoi 
va lua cea mai mare valoare la 
, iar cea mai mică valoare - la 
.
Din moment ce functia 
este continuă, atunci intervalul său de valori este un segment 
între valoarea sa cea mai mică și cea mai mare. Cu alte cuvinte, ecuația inițială (2) are soluții pentru 
.
Derivata este utilizată pe scară largă în rezolvarea unui număr de probleme din matematica elementară. Din întreaga gamă de astfel de probleme, le evidențiem pe cele pentru rezolvarea cărora se utilizează teorema Lagrange și corolarele sale. Acestea includ sarcini pentru demonstrarea identităților, inegalităților, derivarea formulelor de trigonometrie, factorizarea expresiilor algebrice, rezolvarea ecuațiilor, inegalităților, sistemelor de ecuații, ecuațiilor cu parametri. În acest caz, pot fi indicate metode generale de soluție și unele metode particulare.
teorema lui Lagrange. Fie funcția f continuă pe un segment și diferențiabilă în punctele interioare ale acestui segment. Apoi există un punct interior din acest segment astfel încât.
Corolarul 1 (condiția de constantă) . Dacă funcția f este continuă pe segmentul , iar derivata sa este egală cu zero în interiorul acestui segment, atunci funcția f este constantă pe .
Corolarul 2. Dacă funcțiile și sunt continue pe un segment și au aceleași derivate în interiorul acestui segment, atunci ele diferă doar într-un termen constant.
Condiția de monotonitate pentru o funcție este, de asemenea, o consecință a teoremei lui Lagrange. În manualul școlar se stabilește separat sub forma unei teoreme.
Corolarul 3 ( condiție de monotonitate). Dacă o funcție f este continuă pe un interval I și derivata ei este pozitivă (respectiv, negativă) în punctele interioare ale acestui interval, atunci funcția f crește (respectiv, descrește) pe I.
Teorema lui Lagrange poate fi aplicată:
La demonstrarea inegalităților, în special - inegalități numerice;
La investigarea problemei rădăcinilor unui polinom sau a unei ecuații;
La rezolvarea ecuaţiilor.
În procesul de rezolvare a unor astfel de probleme, se ia în considerare funcția f(x) de pe segmentul , care satisface condițiile teoremei Lagrange, iar pentru aceasta se scrie formula Lagrange., se evaluează c (a;b) și f’(c) și, în consecință, expresia, care ne permite să dovedim inegalitatea considerată sau să rezolvăm problema rădăcinilor unui polinom, a unei ecuații.
Exemplul 1. Demonstrați că.
Soluţie. Funcția f(x)=arccosx pe segment este continuă și diferențiabilă pe intervalul (0,6;0,8),. Prin urmare, pentru funcția f(x) de pe acest segment, condițiile teoremei Lagrange sunt îndeplinite și, unde 0,6
Exemplul 2. Demonstrați că e x >=ex.
Soluţie. Inegalitatea este valabilă pentru x=1. Se consideră funcția f(x)=e x -ex. Atunci pentru orice număr b (b>1) pentru această funcție condițiile teoremei lui Lagrange sunt îndeplinite pe segmentul , iar pentru b, adică. Deoarece c>1 cu b>1, atunci e c >e și, prin urmare, e c -e>0. Apoi, și deci e b -eb>0, adică. e b >eb pentru orice b>1. Astfel, se demonstrează că e x >=ex pentru x>=1.
Dacă b, adică din, rezultă că e b -eb>0, adică. eb >eb.
Deci, se demonstrează că inegalitatea e x >= ex este adevărată pentru orice x real. În special, pentru x=c+1 obținem e c+1 >=e(c+1), adică. e c >=c+1, unde c este orice număr real.
Exemplul 3. Demonstrați că ecuațianu are rădăcini pozitive reale.
Soluţie. Fie b orice număr pozitiv. Luați în considerare funcția f(x)=
, continuă pe interval și având o derivatăpe intervalul (0;b). După teorema Lagrange, avem,
0
Exemplul 4. Demonstrați că în intervalul (0, 2) există cel mult două rădăcini reale diferite ale ecuației.
Soluţie. Să presupunem că ecuația are cel puțin trei rădăcini reale diferite x 1 , x 2 , x 3 aparținând intervalului (0.2), și fie x 1
Să găsim derivata f'(x):
. pentru căpentru orice x, atunci ecuația f’(x)=0 are o singură rădăcină x= aparținând intervalului (0, 2). Am ajuns la o contradicție, deoarece c 1 și c 2 (c 1 c 2) sunt rădăcinile ecuației f’(x)=0, demonstrând astfel că ecuațiaare cel mult două rădăcini reale diferite pe intervalul (0,2).
Exemplul 5. Rezolvați ecuația x 9 -9x 5 +63x-55=0.
Soluţie. Este ușor de observat că numărul x 1 \u003d 1 este rădăcina acestei ecuații. Să presupunem că mai există cel puțin o rădăcină reală x 2 diferită de x 1 . Numerele x 1 și x 2 sunt zerourile funcției f(x)=x 9 -9x 5 +63x-55 și, prin urmare, f(x 1)=f(x 2)=0. Să aplicăm teorema lui Lagrange la funcția f(x) pe intervalul dacă x 1
Determinați numărul de puncte critice ale funcției y \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9).
Soluţie. Deoarece gradul polinomului f (x) \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9) este 5, atunci derivata sa f '(x) este un polinom de gradul al patrulea și nu are mai mult de patru rădăcini reale. Să aplicăm teorema Lagrange la funcția f(x)=(x+1)(x-1)x(x-8)(x-9) pe intervalele [-1;0], , , și să luăm în considerare că f( -1)=f(0)=f(1)=f(8)=f(9)=0. Pe fiecare astfel de segment există puncte interioare x 1 , x 2 , x 3 , respectiv x 4, astfel încât, , , , adică f'(x 1)=0, f'(x 2)=0, f'(x 3)=0, f'(x 4)=0. Și având în vedere că x 1, x 2, x 3, x 4 sunt rădăcini diferite ale polinomului f'(x) de gradul al patrulea, concluzionăm că nu există alte rădăcini decât cele obținute și, deci, funcția y = (x 2 - 1) (x 2 -8x) (x-9) are patru puncte critice.
Condiția de monotonitate pentru o funcție poate fi aplicată:
La rezolvarea inegalităților;
La demonstrarea inegalităților cu o variabilă;
La demonstrarea inegalităților numerice;
Când investighăm întrebarea numărului de rădăcini ale ecuației;
În unele cazuri, la rezolvarea ecuațiilor, ecuațiilor cu parametri, sistemelor de ecuații.
Rezolvarea problemelor folosind condiția de monotonitate se bazează pe relația dintre creșterea sau scăderea unei funcții și semnul derivatei acesteia pe un anumit interval. În același timp, comparând diferite valori ale argumentului din acest interval al funcției monotone considerate, se face o concluzie despre valorile corespunzătoare ale acestei funcții.
Exemplul 7. Demonstrați că 3xcosx
Soluţie. Să demonstrăm că dacă 0
Având în vedere că f(0)=0, vom avea tgx-3x+2sinx>0. Și din moment ce întrecosx>0, apoi cosx(tgx+2sinx-3x)>0. Astfel, se demonstrează că sinx+sin2x-3xcosx>0, adică că 3xcosx
Exemplul 8. Demonstrați că
1) Șidaca 0 2) Și, dacă e
Soluţie. Se consideră o funcție continuă pe intervalul (0;+). De la derivatul săueste egal cu zero la x=e și la 0 Restul consecințelor teoremei lui Lagrange pot fi aplicate: La demonstrarea identităților, în special la derivarea formulelor de matematică elementară; La simplificarea expresiilor; La descompunerea expresiilor algebrice în factori. La rezolvarea unui număr de astfel de probleme pe un anumit interval, se ia în considerare fie o funcție f(x), astfel încât derivata ei f’(x)=0 și, prin urmare, funcția este constantă, adică. are forma f(x)=c, sau două funcții f(x) și g(x), astfel încât f'(x)=g'(x), și se ajunge la concluzia că f(x)=g(x )+c (c este o constantă). Această constantă este găsită prin setarea x egală cu o anumită valoare x 1 . Exemplul 12. Deduceți o formulă. Soluţie. Funcția f(x)=continuă pe toată dreapta numerică. Să găsim derivata acestei funcții f'(x)=2sinxcosx-sin2x=sin2x-sin2x. f'(x)=0 pentru orice valoare reală x, așadar, pe baza condiției constanței funcției, putem concluziona că funcția f(x) este constantă, adică. f(x)=c. Pentru a determina constanta c, punem x=0 și obținem f(0)=c, adică. sin 2 0-0,5+0,5cos0=c. Astfel, c=0 și deci f(x)=0, de unde obținem=0 sau. Exemplul 13. Demonstrați că arctgx=arcsinla x
Soluţie. Luați în considerare două funcții f(x)=arctgx și g(x)=arcsin continue pe intervalul (-;0], atunci sunt continue pe orice interval . Să găsim derivatele acestor funcții. , . Deoarece pentru xși apoi f'(x)=g'(x) în interiorul segmentului . Pe baza corolarului 2, avem f(x)=g(x)+c, unde c este o constantă. Pentru a defini c, să spunem x=-1, ceea ce dă arctg(-1)=arcsin, adicăDeci obținem arctgx=arcsinla x
Derivata este utilizată pe scară largă în rezolvarea unui număr de probleme din matematica elementară. Din întreaga gamă de astfel de probleme, le evidențiem pe cele pentru rezolvarea cărora se utilizează teorema Lagrange și corolarele sale. Acestea includ sarcini pentru demonstrarea identităților, inegalităților, derivarea formulelor de trigonometrie, factorizarea expresiilor algebrice, rezolvarea ecuațiilor, inegalităților, sistemelor de ecuații, ecuațiilor cu parametri. În acest caz, pot fi indicate metode generale de soluție și unele metode particulare. teorema lui Lagrange. Fie funcția f continuă pe un segment și diferențiabilă în punctele interioare ale acestui segment. Apoi există un punct interior din acest segment astfel încât.
Corolarul 1 (condiția de constantă) .
Dacă funcția f este continuă pe segmentul , iar derivata sa este egală cu zero în interiorul acestui segment, atunci funcția f este constantă pe . Corolarul 2. Dacă funcțiile și sunt continue pe un segment și au aceleași derivate în interiorul acestui segment, atunci ele diferă doar într-un termen constant. Condiția de monotonitate pentru o funcție este, de asemenea, o consecință a teoremei lui Lagrange. În manualul școlar se stabilește separat sub forma unei teoreme. Corolarul 3 ( condiție de monotonitate). Dacă o funcție f este continuă pe un interval I și derivata ei este pozitivă (respectiv, negativă) în punctele interioare ale acestui interval, atunci funcția f crește (respectiv, descrește) pe I. Teorema lui Lagrange poate fi aplicată: La demonstrarea inegalităților, în special - inegalități numerice; La investigarea problemei rădăcinilor unui polinom sau a unei ecuații; La rezolvarea ecuaţiilor. În procesul de rezolvare a unor astfel de probleme, se ia în considerare funcția f(x) de pe segmentul , care satisface condițiile teoremei Lagrange, iar pentru aceasta se scrie formula Lagrange., se evaluează c (a;b) și f’(c) și, în consecință, expresia, care ne permite să dovedim inegalitatea considerată sau să rezolvăm problema rădăcinilor unui polinom, a unei ecuații. Exemplul 1. Demonstrați că. Soluţie. Funcția f(x)=arccosx pe segment este continuă și diferențiabilă pe intervalul (0,6;0,8),. Prin urmare, pentru funcția f(x) de pe acest segment, condițiile teoremei Lagrange sunt îndeplinite și, unde 0,6 Exemplul 2. Demonstrați că e x >=ex. Soluţie. Inegalitatea este valabilă pentru x=1. Se consideră funcția f(x)=e x -ex. Atunci pentru orice număr b (b>1) pentru această funcție condițiile teoremei lui Lagrange sunt îndeplinite pe segmentul , iar pentru b, adică. Deoarece c>1 cu b>1, atunci e c >e și, prin urmare, e c -e>0. Apoi, și deci e b -eb>0, adică. e b >eb pentru orice b>1. Astfel, se demonstrează că e x >=ex pentru x>=1. Dacă b, adică din, rezultă că e b -eb>0, adică. eb >eb. Deci, se demonstrează că inegalitatea e x >= ex este adevărată pentru orice x real. În special, pentru x=c+1 obținem e c+1 >=e(c+1), adică. e c >=c+1, unde c este orice număr real. Exemplul 3. Demonstrați că ecuațianu are rădăcini pozitive reale. Soluţie. Fie b orice număr pozitiv. Luați în considerare funcția f(x)=
, continuă pe interval și având o derivatăpe intervalul (0;b). După teorema Lagrange, avem,
0 Exemplul 4. Demonstrați că în intervalul (0, 2) există cel mult două rădăcini reale diferite ale ecuației. Soluţie. Să presupunem că ecuația are cel puțin trei rădăcini reale diferite x 1 , x 2 , x 3 aparținând intervalului (0.2), și fie x 1 Să găsim derivata f'(x): . pentru căpentru orice x, atunci ecuația f’(x)=0 are o singură rădăcină x= aparținând intervalului (0, 2). Am ajuns la o contradicție, deoarece c 1 și c 2 (c 1 c 2) sunt rădăcinile ecuației f’(x)=0, demonstrând astfel că ecuațiaare cel mult două rădăcini reale diferite pe intervalul (0,2). Exemplul 5. Rezolvați ecuația x 9 -9x 5 +63x-55=0. Soluţie. Este ușor de observat că numărul x 1 \u003d 1 este rădăcina acestei ecuații. Să presupunem că mai există cel puțin o rădăcină reală x 2 diferită de x 1 . Numerele x 1 și x 2 sunt zerourile funcției f(x)=x 9 -9x 5 +63x-55 și, prin urmare, f(x 1)=f(x 2)=0. Să aplicăm teorema lui Lagrange la funcția f(x) pe intervalul dacă x 1 Determinați numărul de puncte critice ale funcției y \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9). Soluţie. Deoarece gradul polinomului f (x) \u003d (x 2 -1) (x 2 -8x) (x-9) este 5, atunci derivata sa f '(x) este un polinom de gradul al patrulea și nu are mai mult de patru rădăcini reale. Să aplicăm teorema Lagrange la funcția f(x)=(x+1)(x-1)x(x-8)(x-9) pe intervalele [-1;0], , , și să luăm în considerare că f( -1)=f(0)=f(1)=f(8)=f(9)=0. Pe fiecare astfel de segment există puncte interioare x 1 , x 2 , x 3 , respectiv x 4, astfel încât,
,
,
, adică f'(x 1)=0, f'(x 2)=0, f'(x 3)=0, f'(x 4)=0. Și având în vedere că x 1, x 2, x 3, x 4 sunt rădăcini diferite ale polinomului f'(x) de gradul al patrulea, concluzionăm că nu există alte rădăcini decât cele obținute și, deci, funcția y = (x 2 - 1) (x 2 -8x) (x-9) are patru puncte critice. Condiția de monotonitate pentru o funcție poate fi aplicată: La rezolvarea inegalităților; La demonstrarea inegalităților cu o variabilă; La demonstrarea inegalităților numerice; Când investighăm întrebarea numărului de rădăcini ale ecuației; În unele cazuri, la rezolvarea ecuațiilor, ecuațiilor cu parametri, sistemelor de ecuații. Rezolvarea problemelor folosind condiția de monotonitate se bazează pe relația dintre creșterea sau scăderea unei funcții și semnul derivatei acesteia pe un anumit interval. În același timp, comparând diferite valori ale argumentului din acest interval al funcției monotone considerate, se face o concluzie despre valorile corespunzătoare ale acestei funcții. Exemplul 7. Demonstrați că 3xcosx Soluţie. Să demonstrăm că dacă 0 Având în vedere că f(0)=0, vom avea tgx-3x+2sinx>0. Și din moment ce întrecosx>0, apoi cosx(tgx+2sinx-3x)>0. Astfel, se demonstrează că sinx+sin2x-3xcosx>0, adică că 3xcosx Exemplul 8. Demonstrați că 1) Șidaca 0 2) Și, dacă e
Soluţie. Se consideră o funcție continuă pe intervalul (0;+). De la derivatul săueste egal cu zero la x=e și la 0 Restul consecințelor teoremei lui Lagrange pot fi aplicate: La demonstrarea identităților, în special la derivarea formulelor de matematică elementară; La simplificarea expresiilor; La descompunerea expresiilor algebrice în factori. La rezolvarea unui număr de astfel de probleme pe un anumit interval, se ia în considerare fie o funcție f(x), astfel încât derivata ei f’(x)=0 și, prin urmare, funcția este constantă, adică. are forma f(x)=c, sau două funcții f(x) și g(x), astfel încât f'(x)=g'(x), și se ajunge la concluzia că f(x)=g(x )+c (c este o constantă). Această constantă este găsită prin setarea x egală cu o anumită valoare x 1 . Exemplul 12. Deduceți o formulă. Soluţie. Funcția f(x)=continuă pe toată dreapta numerică. Să găsim derivata acestei funcții f'(x)=2sinxcosx-sin2x=sin2x-sin2x. f'(x)=0 pentru orice valoare reală x, așadar, pe baza condiției constanței funcției, putem concluziona că funcția f(x) este constantă, adică. f(x)=c. Pentru a determina constanta c, punem x=0 și obținem f(0)=c, adică. sin 2 0-0,5+0,5cos0=c. Astfel, c=0 și deci f(x)=0, de unde obținem=0 sau. Exemplul 13. Demonstrați că arctgx=arcsinla x
Soluţie. Luați în considerare două funcții f(x)=arctgx și g(x)=arcsin continue pe intervalul (-;0], atunci sunt continue pe orice interval . Să găsim derivatele acestor funcții. , . Deoarece pentru xși apoi f'(x)=g'(x) în interiorul segmentului . Pe baza corolarului 2, avem f(x)=g(x)+c, unde c este o constantă. Pentru a defini c, să spunem x=-1, ceea ce dă arctg(-1)=arcsin, adicăDeci obținem arctgx=arcsinla x
Exemplul 14. Demonstrați identitatea Soluţie. observa asta, pentru orice x și funcție reală,
continuă pe toată dreapta numerică. Avem, . 1) Se consideră funcția F(x)=f(x)+g(x), x (-;-1) (0;1). F(x)=și F'(x)=f'(x)+g'(x)=. Dacă x (-;-1), atunci |x 2 -1|=x 2 -1, |x|=-x și F’(x)=0. Dacă x (0;1), atunci |x 2 -1|=-(x 2 -1), |x|=x și F'(x)=0. Pe baza condiției de constanță a funcției F(x)=c, i.e.. Pe fiecare dintre intervalele considerate, definim c prin stabilirea, de exemplu, x =și x=. , prin urmare, c=. , deci c=0. Avem:pentru x (-;-1),pentru x(0;1). 2) Se consideră funcția G(x)=f(x)-g(x), x (-1;0) (1; +). , . Dacă x (-1; 0), atunci |x 2 -1|=-(x 2 -1), |x|=-x și G'(x)=0. Dacă x (1; +), atunci |x 2 -1|=x 2 -1, |x|=x și G'(x)=0. Atunci funcția G(x) este constantă pe intervalele specificate, adică. Fie x=și x=, primim, prin urmare, c=;, atunci c=0. Avem:la x (-1; 0),pentru x (1;+). 3) Calculați valorile f(x) și g(x) pentru x=± 1 și x=0. f(-1)=arccos(-1)=, g(-1)=arcsin0=0; prin urmare, pentru x=-1 f(x)=+g(x), adică.. , , prin urmare, la x=0 f(x)=-g(x), adică.. f(1)=arccos1=0, g(1)=arcsin0=0, prin urmare, la x= 1 f(x)=g(x), i.e.. Astfel, această identitate este dovedită pentru tot x real. Exemplul 15. Factorizarea unei expresii y2 (x-z)+x2 (z-y)+z2 (y-x). Soluţie. Vom privi această expresie ca o funcție a variabilei x: f (x) \u003d y 2 (x-z) + x 2 (z-y) + z 2 (y-x). Găsiți f'(x). f'(x)=y 2 +2x(zy)-z 2 =y 2 -z 2 -2x(yz)=(yz)(y+z)-2x(yz)=(yz)(y+z- 2x). g'(x)=(y-z)((y+z)-2x). Ca funcție g(x) putem lua g(x)=(y-z)((y-z)x-x 2). Deoarece funcțiile f(x) și g(x) sunt continue și diferențiabile pe întreaga dreaptă reală și f'(x)=g'(x), atunci prin Corolarul 2 f(x)=g(x)+c, unde nu depinde de x, dar poate depinde de y și z. Avem y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x)=(y-z)((y+z)x-x 2)+c. Să găsim c punând în această egalitate, de exemplu, x=0. Avem yz 2 -zy 2 =c. Atunci f(x)=g(x)+yz2-zy2, adică. f(x)=(yz)((y+z)xx 2)+yz 2 -zy 2 =(yz)(xy+xz-x 2)-yz(yz)=(yz)(xy-x 2 + xz-yz)=(yz)(x(yx)-z(yx))=(yz)(yx)(xz). Deci y 2 (x-z)+x 2 (z-y)+z 2 (y-x)=(y-z)(y-x)(x-z).